高考数学一轮复习：
课时作业44 空间向量及其运算
[基础达标]
一、选择题
1
1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x＝( )
2A．(0,3，－6) B．(0,6，－20) C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
1
解析：由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．
2答案：B
→→→→
2．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有6OP＝OA＋2OB＋3OC，则( ) A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面 C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面 →→→→
解析：由6OP＝OA＋2OB＋3OC，
→→→→→→→→→→→→
得OP－OA＝2(OB－OP)＋3(OC－OP)，即AP＝2PB＋3PC，故AP，PB，PC共面，又它们有公共点P，因此，P，A，B，C四点共面，故选B.
答案：B
→→→
3．已知空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为→
BC中点，则MN＝( )
121211A.a－b＋c B．－a＋b＋c 232322111221C.a＋b－c D.a＋b－c 222332
→→→1→→2→解析：显然MN＝ON－OM＝(OB＋OC)－OA.
23答案：B
→→→→→→→→
4．已知四边形ABCD满足：AB·BC>0，BC·CD>0，CD·DA>0，DA·AB>0，则该四边形为
1
( )
A．平行四边形 B．梯形 C．长方形 D．空间四边形
→→→→→→→→
解析：由AB·BC>0，BC·CD>0，CD·DA>0，DA·AB>0，知该四边形一定不是平面图形． 答案：D
AC15．[2020·日照调研]已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且＝，则
AB3C点的坐标为( )
7158
A．(，－，) B．(，－3,2)
2223107573C．(，－1，) D．(，－，)
33222
→→
解析：由题意知2AC＝CB，设C(x，y，z)，则2(x－4，y－1，z－3)＝(2－x，－5－y,1－z)，
2x－8＝2－x，??
∴?2y－2＝－5－y，??2z－6＝1－z，
??∴?y＝－1，
7z＝??3.
x＝，
10
3
107即C(，－1，)
33
答案：C 二、填空题
→→→
6．已知空间四边形OABC，点M，N分别是OA，BC的中点，且OA＝a，OB＝b，OC＝c，→
用a，b，c表示向量MN＝________.
解析：如图所示，
→
→→→1→→→11→→1→→1→→
MN＝(MB＋MC)＝[(OB－OM)＋(OC－OM)]＝(OB＋OC－2OM)＝(OB＋OC－OA)＝(b＋c22222
－a)．
1
答案：(b＋c－a)
2
7．若a＝(0,1，－1)，b＝(1,1,0)，且(a＋λb)⊥a，则实数λ的值为________．
2
解析：因为(a＋λb)⊥a，
所以(a＋λb)·a＝a＋λb·a＝(2)＋λ×(0＋1＋0)＝0，解得λ＝－2. 答案：－2
8．已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为________．
2
2
a·b25
解析：cos〈a，b〉＝＝－.
|a|·|b|15
25
答案：－
15三、解答题
9．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)． →→
(1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积；
→→
(2)若|a|＝3，且a分别与AB，AC垂直，求向量a的坐标． →→
解析：(1)由题意可得：AB＝(－2，－1,3)，AC＝(1，－3,2)， →→
→→AB·AC－2＋3＋671
所以cos〈AB，AC〉＝＝＝＝，
→→14×14142|AB||AC|→→3
所以sin〈AB，AC〉＝，
2
→→
所以以AB，AC为边的平行四边形的面积： →→1→→3
S＝2×|AB||AC|sin〈AB，AC〉＝14×＝73.
22(2)设a＝(x，y，z)，
x＋y＋z＝3，??
由题意得?－2x－y＋3z＝0，
??x－3y＋2z＝0，
222
x＝1，??
解得?y＝1，
??z＝1
x＝－1，??
或?y＝－1，??z＝－1.
所以a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．
10．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
3
→→(1)EF·BA； →→(2)EF·DC； (3)EG的长．
→→→
解析：设AB＝a，AC＝b，AD＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， →
→1→11→
EF＝BD＝c－a，BA＝－a，DC＝b－c，
222→→11
??(1)EF·BA＝?c－a?·(－a) ?22?1211＝a－a·c＝. 224
→→1
(2)EF·DC＝(c－a)·(b－c)
2112
＝(b·c－a·b－c＋a·c)＝－. 24→→→→111(3)EG＝EB＋BC＋CG＝a＋b－a＋c－b
222111
＝－a＋b＋c，
222
→→121212111122
|EG|＝a＋b＋c－a·b＋b·c－c·a＝，则|EG|＝.
44422222
[能力挑战]
11．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：
(1)CM∥平面PAD； (2)平面PAB⊥平面PAD.
4
证明：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，
CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.
∵PC⊥平面ABCD，
∵∠PBC为PB与平面ABCD所成的角， ∴∠PBC＝30°，
∵PC＝2，∴BC＝23，PB＝4，
∴D(0,1,0)，B(23，0,0)，A(23，4,0)，P(0,0,2)，M??3
?2
，0，3?2??，→→→∴DP＝(0，－1,2)，DA＝(23，3,0)，CM＝??3
3??2，0，2??.
(1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量， ?→
由?DP·n＝0，?→
0，
DA·n＝0，
??
－y＋2z＝0，
即?23x＋3y＝令y＝2，得n＝(－3，2,1)． →∵n·CM＝－3×33
2＋2×0＋1×2＝0，
→
∴n⊥CM.又CM?平面PAD， ∴CM∥平面PAD.
→→
(2)解法一 由(1)知BA＝(0,4,0)，PB＝(23，0，－2)， 设平面PAB的一个法向量为m＝(x0，y0，z0)， ?→由?BA·m＝0，?→
PB·m＝0，
?4y0＝0，即?
?23x0－2z0＝0，
令x0＝1，得m＝(1,0，3)，
又∵平面PAD的一个法向量n＝(－3，2,1)， ∴m·n＝1×(－3)＋0×2＋3×1＝0， ∴平面PAB⊥平面PAD.
5
2021高考数学一轮复习课时作业44空间向量及其运算理(含答案及解析)
