.
（3）根据题意画图如下：
∵共有6种情况数，甲、乙相邻出场的有4种情况， ∴甲、乙相邻出场的概率是＝．
【点评】此题考查了方差、平均数、中位数和画树状图法求概率，一般地设n个数据，x1，x2，…
xn的平均数为，则方差S2＝ [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的
波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立；概率＝所求情况数与总情况数之比． 22．【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一即可证明．
（2）设⊙O的半径为R，则FO＝4+R，FA＝4+2R，OD＝R，连接OD，由△FOD∽△FAE，得＝
列出方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接AD， ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝DC．
（2）解：设⊙O的半径为R，则FO＝4+R，FA＝4+2R，OD＝R，连接OD、 ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵OB＝OD， ∴∠ABC＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∴△FOD∽△FAE， ∴
＝
，
.
.
∴＝，
整理得R2﹣R﹣12＝0， ∴R＝4或（﹣3舍弃）． ∴⊙O的半径为4．
【点评】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
23．【分析】（1）以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为
y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+h，代入（0，2）和（3，0）
得出方程组，解方程组即可， （2）求出当x＝1时，y＝即可．
【解答】解：（1）如图所示：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为 ：y＝a（x﹣1）+h， 代入（0，2）和（3，0）得：
，
2
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+； 即y＝﹣x2+x+2（0≤x≤3），
根据对称性可知：抛物线的解析式也可以为：y＝﹣x2﹣x+2（﹣3≤x≤0），
.
.
（2）y＝﹣x+x+2（0≤x≤3）， 当x＝1时，y＝， 即水柱的最大高度为m．
2
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
24．【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质，证明∠DGF＝∠DFG，从而得到GD＝DF，接下来依据翻折的性质可证明DG＝GE＝DF＝EF；
（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG＝OF＝GF，再证明△DOF∽△
ADF，由相似三角形的性质可证明DF2＝FO?AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；
（3）依据tan∠FEC＝，可设CF＝3x，CE＝4x，进而得到EF＝5x，CD＝8x＝AB，再依据相似三角形对应边成比例，即可得到AE＝10x＝AD，最后在Rt△ADF中，利用勾股定理列方程求解即可得到矩形ABCD的周长． 【解答】解：（1）∵GE∥DF， ∴∠EGF＝∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF， ∴∠DGF＝∠DFG． ∴GD＝DF．
∴DG＝GE＝DF＝EF． ∴四边形EFDG为菱形．
（2）如图，连接DE，交AF于点O． ∵四边形EFDG为菱形， ∴GF⊥DE，OG＝OF＝GF．
.
.
∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DFA， ∴△DOF∽△ADF． ∴
＝
，即DF2＝FO?AF．
∵FO＝GF，DF＝EG， ∴EG2＝GF?AF．
（3）∵Rt△CEF中，tan∠FEC＝，
∴可设CF＝3x，CE＝4x，则EF＝5x＝DF，CD＝8x＝AB， ∵∠B＝∠C＝90°，∠AEF＝∠ADF＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝∠CEF+∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠CEF， ∴△ABE∽△ECF， ∴
＝
＝，即
＝，
∴BE＝6x， ∴BC＝10x＝AD， ∵Rt△ADF中，AF＝5
cm，
）2，
∴（10x）2+（5x）2＝（5解得x＝1，
∴AD＝10cm，CD＝8cm，
∴矩形ABCD的周长＝2（10+8）＝36cm． 故答案为：36cm．
【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是依据直角三角形的勾股定理列方程求解．
.
.
25．【分析】（1）利用一次函数解析式确定C（0，﹣5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）①先解方程﹣x2+6x﹣5＝0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC＝∠OCB＝45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以AM＝2
，接着根据平行四边形的性质得到
PQ＝AM＝2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ＝45°得到PD＝
PQ＝4，设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD＝﹣m+6m﹣5﹣（m﹣5）＝4；当P点在直线BC下方时，PD＝m﹣5﹣（﹣m+6m﹣5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B＝2∠ACB，再确定N（3，﹣2），
2
2
AC的解析式为y＝5x﹣5，E点坐标为（，﹣），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析
式为y＝﹣x+b，把E（，﹣）代入求出b得到直线EM1的解析式为y＝﹣x﹣
，则解
方程组得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利
用对称性得到∠AM2C＝∠AM1B＝2∠ACB，设M2（x，x﹣5），根据中点坐标公式得到3＝，
然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x﹣5＝﹣5，则C（0，﹣5）， 当y＝0时，x﹣5＝0，解得x＝5，则B（5，0）， 把B（5，0），C（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得∴抛物线解析式为y＝﹣x+6x﹣5；
（2）①解方程﹣x2+6x﹣5＝0得x1＝1，x2＝5，则A（1，0）， ∵B（5，0），C（0，﹣5）， ∴△OCB为等腰直角三角形， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵AM⊥BC，
.
2
，解得，
（完整版）2024年山东省潍坊市安丘市中考数学一模试卷（解析版）
