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第五章 数系的扩充与复数的引入
[对应学生用书P50]
一、复数的基本概念 1．复数
?实数a＋bi?虚数
?
b＝0b≠0
??纯虚数a＝0?
?非纯虚数a≠0?
2．复数的相等
两个复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，当且仅当a＝c且b＝d时，z1＝
z2.特别地，当且仅当a＝b＝0时，a＋bi＝0.
3．复数是实数的充要条件 (1)z＝a＋bi(a，b∈R)∈R?b＝0； (2)z∈R?z＝z； (3)z∈R?z≥0.
4．复数是纯虚数的充要条件
(1)z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数?a＝0，且b≠0； (2)z是纯虚数?z＋z＝0(z≠0)； (3)z是纯虚数?z<0. 二、复数的运算
复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除的运算，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子、分母有理化，注意i＝－1.
在运算的过程中常用来降幂的公式有： (1)i的乘方：i＝1，i(2)(1±i)＝±2i.
2
4k4k＋1
2
2
2
＝i，i
4k＋2
＝－1，i
4k＋3
＝－i(k∈N＋)．
1
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(3)作复数除法运算时，有如下技巧：
a＋bia＋biia＋bii
＝＝＝i，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化． b－aib－aiia＋bi
?对应阶段质量检测五?
?? ? 见8开试卷?
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1＋ai
1．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为( )
2－iA．2 1C．－
2
1＋ai1＋ai解析：＝
2－i2－i
B．－2 1
D.
2
2＋i2－a＋2a＋1i
＝，
2＋i5
??2－a＝0，1＋ai
∵为纯虚数，∴?2－i?2a＋1≠0，?
∴a＝2. 答案：A
2．已知集合A＝{1，m－1,2＋(m－5m－6)i}，B＝{－2,2}，若A∩B＝{2}，则实数m的值为( )
A．3 C．3或6
B．－1或6 D.－1或3或6
2
m－1≠2，??
解析：因为A∩B＝{2}，所以2∈A且－2?A，从而有?m－1≠－2，
??2＋m2－5m－6i＝2，
??2＋m－5m－6
?
?m－1＝2，?
2
或
i≠2，
解得m＝6或m＝3. 答案：C
1111
3．i为虚数单位，＋3＋5＋7＝( )
iiii
2
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A．0 C．－2i
B．2i D.4i
111111112
解析：∵i＝－1，∴＋3＋5＋7＝－＋－＝0.
iiiiiiii答案：A
4．复数z满足iz＝3－4i，则|z|＝( ) A．1 C.5
2
B．2 D.5
解析：由iz＝3－4i，得iz＝3i＋4，则z＝－4－3i. 所以，|z|＝答案：D
11－7i
5．设a，b∈R，a＋bi＝，则a＋b＝( )
1－2iA．2 C．－3
11－7i11－7i解析：＝
1－2i1－2i答案：B
B．8 D.－5
1＋2i25＋15i
＝＝5＋3i＝a＋bi，则a＋b＝5＋3＝8.
1＋2i5
－3
2
＋－4
2
＝5.
z＋2
6．已知z是纯虚数，是实数，那么z＝( )
1－i
A．2i C．－i
B．i D.－2i
解析：设纯虚数z＝bi(b∈R且b≠0)，代入
z＋2bi＋2
＝＝1－i1－i由于其为实数，
bi＋2
1－i1＋i2－b＋b＋2i
＝，
1＋i2
∴b＝－2，∴z＝－2i. 答案：D
5i
7．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则＝( )
zA．2－i C．－2－i
B．2＋i D.－2＋i
3
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5i
解析：由条件知z＝－1＋2i，则＝
z5i－1－2i－5i＋10
＝＝2－i.
－1＋2i－1－2i5
答案：A
8．如右图，在复平面内，向量OP对应的复数是1－i，将OP向左平移一个单位长度后得到O0P0，则P0对应的复数为( )
A．1－i C．－1－i
B．1－2i D.－i
OP＝(1，－1)， 解析：∵O0P0＝∴OP0＝OO0＋O0P0＝(－1,0)＋(1，－1)＝(0，－1)， ∴P0对应的复数即OP0对应的复数是 －1＋(1－i)＝－i. 答案：D
9．(陕西高考)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2 B．若z1＝z2，则z1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2 D．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2
解析：对于A，|z1－z2|＝0?z1＝z2?z1＝z2，是真命题；对于B，C易判断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋3 i，则|z1|＝|z2|，但z1＝4，z2＝－2＋23i，是假命题．
答案：D 10．定义运算?A．3－i C．3＋i
2
2
2
2
?a
?c
b?d?
?＝ad－bc，则符合条件?
?1 －1?
?＝4＋2i的复数z为( )
?z zi?
B．1＋3i D.1－3i
?1 －1?
解析：由定义知??＝zi＋z得zi＋z＝4＋2i.
?z zi?
4＋2i即z＝＝3－i.
1＋i答案：A
4
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二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)
11．复数z＝2i－3i的实部是________． 解析：z＝2i－3i＝－2－3i，∴实部为－2. 答案：－2
12．z0＝3＋2i，复数z满足z·z0＝3z＋z0，则复数z＝________. 解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)， 又z0＝3＋2i，代入z·z0＝3z＋z0 得(x＋yi)(3＋2i)＝3(x＋yi)＋3＋2i， 整理得(2y＋3)＋(2－2x)i＝0，
?2y＋3＝0，?
则由复数相等的条件得?
??2－2x＝0，
2
2
x＝1，??
解得?3
y＝－，?2?
3
所以z＝1－i.
23
答案：1－i
2
13．已知关于x的方程x＋(m＋i)x＋1＋i＝0有实根，则实数m＝________. 解析：设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得(x0＋mx0＋1)＋(x0＋1)i＝0，由复数
??x0＋mx0＋1＝0，
相等的充要条件得?
??x0＋1＝0，
2
2
2
解得m＝2.
答案：2
1
14．若z1＝2－i，z2＝－＋2i，z1，z2在复平面上所对应的点为Z1，Z2，则这两点之间
2的距离为________．
解析：向量Z1Z2―→对应的复数是
??z2－z1＝?－＋2i?－(2－i)＝－＋3i，
?
∴|Z1Z2 |＝ 答案：
61
2
1?2
52
?－5?2＋32＝61. ?2?2??
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
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2017_2018学年高中数学第五章数系的扩充与复数的引入章末小结知识整合与阶段检测教学案北师大版选修2_2
