(完整版)五、大数定律与中心极限定理(答案)

由天下分享时间：2025/1/7 16:21:26 加入收藏我要投稿点赞

概率论与数理统计练习题

系专业班姓名学号第五章大数定律与中心极限定理

一、选择题：

1．设?n是n次重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中出现的概率，则对任意的??0均有limP{n???nn?p??} [ A ]

（A）?0 （B）?1 （C）?0 （D）不存在

2．设随机变量X，若E(X)?1.1,D(X)?0.1，则一定有 [ B ] （A）P{?1?X?1}?0.9 （B）P{0?X?2}?0.9 （C）P{|X?1|?1}?0.9 （D）P{|X}?1}?0.1

3．X1,X2,L,X1000是同分布相互独立的随机变量，Xi~B(1,p)，则下列不正确的是 [ D ]

100011000b?1000pa?1000pX?p （A）（B）P{a?X?b}??()??() ??ii1000i?11000pq1000pqi?110001000i?12 （C）

?Xi?1i~B(1000,p) （D）P{a??Xi?b}??(b)??(a)

二、填空题：

1．对于随机变量X，仅知其E(X)?3,D(X)?2241. ，则可知P{|X?3|?3}? 22525 2．设随机变量X和Y的数学期望分别为?2和2，方差分别为1和4，而相关系数为?0.5，则根据契比雪夫不等式PX?Y?6? 三、计算题：

1．设各零件的重量是同分布相互独立的随机变量，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？

解：设第i件零件的重量为随机变量Xi，根据题意得EXi?0.5,DX?0.1.

??1. 121

5000 E(?X)?5000?0.5?2500,D(?X)?5000?0.01?50.

iii?1i?150005000P(?Xi?2510)?P(i?1

i?15000?Xi?250050?10)50?1??(2)?1?0.9207?0.0793.

2．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差是独立的且在

(?0.5,0.5)上服从均匀分布。

（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？

（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90 ？

1500 解：（1）X:U(?0.5,0.5),E(?Xi)?0,D(?Xi)?1500?i?1i?115001?125. 1215001500 P(|?Xi?1i|?15)?P(?Xi?1i125?15125)?2[1??(35)]?2[1??(1.3)]?0.18. 5 （2）P(|?Xi|?10)?P(i?1n|?Xi|i?1nn12?1010)?0.90??()?0.95. nn1212 根据?的单调性得10102?1.645，故n?12?()?443.4.

1.645n12 所以n最多为443个数相加.

3．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。

（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？

解：（1）令Xi?1为第i个病人治愈成功，反之则Xi?0. 令Y??X,Y:ii?1100B(100,0.8),E(Y)?80,D(Y)?16.

P(Y?75)?P(Y?8075?805?)??()?0.8944.

41616 （2）令Xi?1为第i个病人治愈成功，反之则Xi?0.

令Y??X,Y:ii?1100B(100,0.7),E(Y)?70,D(Y)?21.

P(Y?75)?P(Y?7075?705?)?1??()?0.1379. 212121 4．一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个

随机变量，它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5。某天售出300只蛋糕。（1）求收入至少400元的概率；

（2）求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率。解：（1）设Xi (i=1,2,3…,300)为蛋糕的价格，其分布律为:

XiP11.21.5

0.30.20.5E(Xi)?1?0.3?1.2?0.2?1.5?0.5?1.29(i?1,2,3,L300)