荆楚理工学院2016—2017学年度第一学期期末考查
《数学模型与数学实验》试题
完成时限：一周 适用专业：14数学与应用数学 期末论文选题（从以下问题中选择一个,完成一篇论文)
1.某厂用原料A，B生产甲、乙、丙三种产品，已知生产单件产品所需原料、所获利润等有关数据如下表所示： A B 单件利润 甲 6 3 4 乙 3 4 1 丙 5 5 5 原料拥有量 45 30 试分别回答下列问题：
（1）建立线性规划模型，求使该厂获利最大的生产计划；
（2）若产品乙、丙的单件利润不变，甲的单件利润增加到6，是否改变生产计划？ （3）若原料A市场紧缺，除拥有量外一时无法购进，而原料B如数量不足可去市场购买，单价为0.5，问该厂是否购买，以购进多少为宜。
2.某公司饲养实验用的动物以供出售。已知这些动物的生长对饲料中三种营养成分：蛋白质、矿物质、维生素特别敏感，每个动物每天至少需要蛋白质70g，矿物质3g，维生素10mg，该公司能买到5种不同的饲料，每种饲料1 kg所含的营养成分及成本如表： 饲料 蛋白质（g） 矿物质（g） 维生素（mg） 单位重量（1kg）成本（元） A1 A2 A3 A4 A5 需求量 0.30 2.00 1.00 0.60 1.80 70 0.10 0.05 0.02 0.20 0.05 3 0.05 0.10 0.02 0.20 0.08 10 0.2 0.7 0.4 0.3 0.5 （1）试建立数学模型，要求确定既能满足动物生长所需，又使总成本为最低的饲料配方。 （2）若饲料A2的成本降为每公斤0.5 元，是否改变配方？
3.配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不同的部件时因更换设备要付出生产准备费（与生产数量无关）。同一部件的产量大与需求量时因积压资金、占用仓库要付贮存费。今已知某一部件厂的日需求量为常数r，日生产速率为常数k，k>r，每次生产准备费为c1，每天每件产品贮存费为c2。假设不允许缺货，当存量降到零时立即开始生产（不计生产准备时间），并且在每个生产周期T内，开始的一段时间(0 预期销售量（千桶） 广告费（元） 销售增长因子 0 41 38 34 32 29 28 25 22 20 表2 售价与预期销售量 10000 1.40 20000 1.70 30000 1.85 40000 1.95 50000 2.00 60000 1.95 70000 1.80 1.00 表3 广告费与销售增长因子 问李经理如何确定彩漆的售价和广告费，才能使公司获得的利润最大？ 5.在确定像数学建模竞赛这种形式的比赛的优胜者时，常常要评阅大量的答卷，比如说，有P=100份答卷。一个由J位评阅人组成的小组来完成评阅任务，基于竞赛资金对能够聘请的评阅人数量和评阅时间的限制，如果P=100，通常J=8。理想的情况是每个评阅人看所有的答卷，并将它们一一排序，但这种方法工作量太大。另一种方法是进行一系列的筛选，在一次筛选中每个评阅人只看一定数量的答卷，并给出分数。为了减少所看答卷的数量，考虑如下的筛选模式：如果答卷是被排序，则在每个评阅人给出的排序中排在最下面的30%答卷被筛除；如果答卷被打分（比如说从1分到100分），则某个截止分数线以下的答卷被筛除。这样，通过筛选的答卷重新放在一起返回给评阅小组，重复上述过程。人们关注的是，每个评阅人看的答卷要显著地小于P。评阅过程直到剩下W份答卷时停止，这些就是优胜者。当P=100时通常取W=3。 你的任务时利用排序、打分及其他方法的组合，确定一种筛选模式，按照这种模式，最后选中的W份答卷只能来自“最好的”2W份答卷（所谓“最好的”是指，我们假定存在着一种评阅人一致赞成的答卷的绝对排序）。例如，用你给出的方法得到的最后3份答卷将全部包括在“最好的”6份答卷中。在所有满足上述要求的方法中，希望你能给出使每个评阅人所看答卷份数最少的一种方法。 注意在打分时存在系统偏差的可能性。例如，对于一批答卷，一位评阅人平均给70分，而另一位可能平均给80分。在你给出的模式中如何调节尺度来适应竞赛参数（P，J和W）的变化？ 6.评定奖学金问题：为了鼓励先进，对于学习优异、各方面表现突出的学生，学院要奖励给奖学金，以资鼓励。假定奖学金分为三等，评定奖学金时综合考虑：学习成绩、综合表现、社会工作等方面因素，结合学分制，还要考虑所取得的学分等因素。请你设计一种评定奖学金的方法，其要求如下： ⑴提出问题；⑵做出假设； ⑶建立模型； ⑷模型求解； ⑸给出评定奖学金的方法 ⑹根据往年的数据，用你所给的方法进行计算，把所得到的结果与往年的实际情况进行比较分析，以此来检验你所提供的方法的可用性和客观性。 7.为了更好地引进优秀人才，需要对应招人员的情况进行综合考虑，并量化打分。考核的内容分为：知识方面（包括：语文知识，外语知识，国内外政治实事知识）；能力方面（包括：计算机操作能力，公关能力）；表现方面（包括：容貌与风度，体形高矮与肥瘦，音色）。 1．利用层次分析法，建立人才招聘的层次结构模型，给出比较判别矩阵，并进行一致性检验，计算权向量 2．根据上述计算结果，建立人才招聘综合考核指标体系； 3．下表是甲乙丙三人的评分 甲 乙 语文 5 3 外语 5 2 政治实事 计算机 5 4 5 5 公关 4 5 容貌与风度 3 5 高矮与肥瘦 4 4 音色 5 3 39 《数学模型与数学实验考核试卷》第 2 页 共 20 页 丙 3 3 4 2 5 5 5 4 请按指标体系分别求出综合分，并根据综合分确定最先录用谁。 8.熊数量问题：已知一个国家公园能够维持100头灰熊的生存，但不会更多。公园内现有10头。我们用r=0.1的逻辑斯谛微分方程为熊的数量建模。 （1）画出并描述微分方程的斜率场。 （2）用步长h=1的Euler法估计20年内的数量。 （3）求对于灰熊数量的逻辑斯谛增长的解析解p(t)并且画出它的图像。 （4）何时灰熊数量达到50？ 9.某公司在未来1~4月份内需要完成三项工程：第1项工程工期为1~3月份共三个月，总计需要劳动力80人月，第2项工程工期四个月，总计需要劳动力100人月，第3项工程工期从3至4月份共两个月，总计需要劳动力120人月。该公司每月可用劳力为80人，但任何一项工程后上投入的劳力任一月内不准超过60人。问该公司能否按时完成上述三项工程任务，应如何安排劳动力。试将此问题归结为网络最大流问题。 10.火柴销售与各因素之间的关系：研究火柴销售与各因素之间的关系，特收集以下数据 年份 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 火柴销售量（万件） 17.84 18.27 20.29 22.61 26.71 31.19 30.05 29.63 29.69 29.25 31.05 32.28 煤气、液化气户数（万户） 27.43 29.95 33.53 37.31 41.16 45.73 50.59 58.82 65.28 71.25 73.37 76.68 卷烟销售量（万箱） 21.43 24.69 28.37 42.57 45.16 52.46 45.3 46.8 51.11 53.29 55.36 54.00 蚊香销售量（十万箱） 11.09 14.48 16.97 20.16 26.39 27.04 23.08 24.46 33.82 33.57 39.59 48.49 打火石销量（百万粒） 25.78 28.16 24.26 30.18 17.08 7.39 3.88 10.53 20.09 21.22 12.63 11.17 试建立火柴销售与各因素之间的关系，并预测当煤气、液化气户数为80（万户），卷烟销售量为60（万箱），蚊香销售量为50（十万箱），打火石销量为8（百万粒）时火柴销售量。 11.车辆更新问题：一辆汽车从购买到更新，使用年限不同，更新速度不同，其总成本有明显差异。现在只在每年年初考虑是否更新车辆，车辆最多使用4年，考虑一辆车的8年更新规划。各年年初新车的价格为： 第1年 4750 第2年 5000 0~1年 500 使用不同时间的残值为 使用1年 2800 使用2年 2500 使用3年 2200 使用4年 1900 第3年 5250 第4年 5550 1~2年 600 第5年 5800 第6年 6000 2~3年 800 第7年 6250 第8年 6500 3~4年 1200 使用不同时间的维修费为 12.水塔流量的估计：某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。但面临的困难是，当水塔水位降低到设定的最低水位时，水泵自动启动向水 39 《数学模型与数学实验考核试卷》第 3 页 共 20 页
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