一、选择题
1．正态总体N(1,9)在区间(2,3)和(－1,0)上取值的概率分别为m，n，则( ) A．m>n B．m 2．若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则E(X)和D(X)分别为( ) A．0.5和0.25 B．0.5和0.75 C．1和0.25 D．1和0.75 解析：选A.∵X服从两点分布，∴X的概率分布列为 X 0 1 P 0.5 0.5 ∴E(X)＝0×0.5＋1×0.5＝0.5，D(X)＝(0－0.5)2×0.5＋(1－0.5)2×0.5＝0.25. 3．已知随机变量ξ＋η＝8，若ξ～B(10,0.6)，则E(η)，D(η)分别是( ) A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6 解析：选B.∵E(ξ)＝10×0.6＝6， D(ξ)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4， ∴E(η)＝E(8－ξ)＝8－E(ξ)＝8－6＝2， D(η)＝D(8－ξ)＝(－1)2D(ξ)＝D(ξ)＝2.4. 1 0，?中，数值落在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为( ) 4．在正态分布N??9?A．0.097 B．0.046 C．0.03 D．0.002 6 1 解析：选D.∵μ＝0，σ＝， 3∴P(x<－1或x>1) ＝1－P(－1≤x≤1)＝1－P(μ－3σ≤x≤μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6. 214 5．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1 3332 ＝，则x1＋x2的值为( ) 9 5A. 3 C．3 7B. 311D. 3 解析：选C.分析已知条件，利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式得： ? ?42412?x－?·＋?x－?·＝，?33339 1 2 2 2 214x1·＋x2·＝，333 ?解得?2 x＝?3 2 5x1＝ 3 ??x1＝1或?. x＝2?2? 又∵x1 ∴x1＋x2＝3. 二、填空题 6．“好运”出租车公司按月将某辆车出租给司机，按照规定：无论是否出租，该公司每月都要负担这辆车的各种管理费100元，如果在一个月内该车被租的概率是0.8，租金是2 600元，那么公司每月对这辆车收入的期望值为______元． 解析：设公司每月对这辆车的收入为X元，则其分布列为： X P －100 0.2 2 500 0.8 故E(X)＝(－100)×0.2＋2 500×0.8＝1 980(元)． 答案：1 980 7．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，a，b，c∈(0,1)，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况)，则ab的最大值为________． 解析：由已知3a＋2b＋0×c＝1， ∴3a＋2b＝1， 2 11?3a＋2b?1∴ab＝·3a·2b≤·＝， 66424 11 当且仅当a＝，b＝时取“＝”． 641 答案： 24 8．已知某次英语考试的成绩X服从正态分布N(116,64)，则10 000名考生中成绩在140分以上的人数为________． 解析：由已知得μ＝116，σ＝8. ∴P(92＜X≤140)＝P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4， 1 ∴P(X＞140)＝(1－0.997 4)＝0.001 3， 2 ∴成绩在140分以上的人数为13. 答案：13 三、解答题 9．在某市组织的一次数学竞赛中，全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有13人． (1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？ (2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？ 解：(1)设学生的成绩为X，共有n人参加竞赛， ∵X～N(60,100)， ∴μ＝60，σ＝10. 1 ∴P(X≥90)＝[1－P(30 2 1 ＝(1－0.997 4)＝0.001 3. 2 13 又P(X≥90)＝， n 13 ∴＝0.001 3. n∴n＝10 000. (2)设受奖励的学生的分数线为x0. 228 则P(X≥x0)＝＝0.022 8. 10 000∵0.022 8<0.5， ∴x0>60. ∴P(120－x0 故受奖励学生的分数线是80分． 10．(2011·高考江西卷)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力． (1)求X的分布列； (2)求此员工月工资的期望． 解：(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4. －iCi4C44 P(X＝i)＝(i＝0,1,2,3,4)． C48 ∴X的分布列为 X P 0 1 701 8 352 18 353 8 354 1 70(2)令Y表示此员工的月工资， 则Y的所有可能取值为2 100,2 800,3 500. 1 则P(Y＝3 500)＝P(X＝4)＝， 708 P(Y＝2 800)＝P(X＝3)＝， 3553 P(Y＝2 100)＝P(X≤2)＝. 70 1853 E(Y)＝3 500×＋2 800×＋2 100×＝2 280. 703570所以此员工月工资的期望为2 280元． 1．(2013·聊城模拟)在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投 2 进4个球且最后2个球都投进者获奖，否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是. 3 (1)求教师甲在一场比赛中获奖的概率； (2)若教师甲在某场比赛中，第1个球没有投进，求他在这场比赛中获奖的概率； (3)记教师甲在某场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望． 解：(1)记“教师甲在一场比赛中获奖”为事件A， 12125262 则P(A)＝C4×()2×()4＋C14××()＋() 3333332＝. 81 32 所以教师甲在一场比赛中获奖的概率为. 81 (2)记“教师甲在某场比赛中，第1个球没有投进，他在这场比赛中获奖”为事件B，即教师甲必须在第2,3,4次投球中至少投进2个，且第5,6次都投进，才能获奖． 222212280 所以P(B)＝()3×()2＋C2. 3×()××()＝33333243 80 即教师甲在这场比赛中获奖的概率为. 243 (3)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6. 2 依条件可知X～B(6，)． 3 216－k P(X＝k)＝Ck()k·()(k＝0,1,2,3,4,5,6)， 6·33 X的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 6 1126016024019264P 72972972972972972972912 916 所以E(X)＝×(0×1＋1×12＋2×60＋3×160＋4×240＋5×192＋6×64)＝＝ 7297294. 2．(2012·佛山模拟)佛山某学校的场室统一使用“佛山照明”的一种灯管，已知这种灯 管使用寿命ξ(单位：月)服从正态分布N(μ，σ2)，且使用寿命不少于12个月的概率为0.8，使用寿命不少于24个月的概率为0.2. (1)求这种灯管的平均使用寿命μ； (2)假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下(中途不更换)，求至少两支灯管需要更换的概率． 解：(1)∵ξ～N(μ，σ2)，P(ξ≥12)＝0.8，P(ξ≥24)＝0.2， ∴P(ξ＜12)＝0.2，显然P(ξ＜12)＝P(ξ＞24) 12＋24 由正态分布密度函数的对称性可知，μ＝＝18， 2即每支这种灯管的平均使用寿命是18个月； (2)每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为1－0.8＝0.2， 假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为η支，则η～B(4,0.2)， 故至少两支灯管需要更换的概率P＝1－P(η＝0)－P(η＝1) 1134131 ＝1－C0(写成≈0.18也可以)． 40.8－C40.8×0.2＝625 3．在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 ξ 0 2 3 4 5 P 0.03 p1 p2 p3 p4 (1)求q2的值； (2)求随机变量ξ的数学期望E(ξ)； (3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的 概率的大小． 解：(1)由题设知，“ξ＝0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”由对立事件和相互独立事件性质可知 P(ξ＝0)＝(1－q1)(1－q2)2＝0.03，解得q2＝0.8. (2)根据题意 p1＝P(ξ＝2)＝(1－q1)C12(1－q2)q2 ＝0.75×2×0.2×0.8＝0.24， p2＝P(ξ＝3)＝q1(1－q2)2＝0.25×(1－0.8)2＝0.01， 2p3＝P(ξ＝4)＝(1－q1)q22＝0.75×0.8＝0.48， p4＝P(ξ＝5)＝q1q2＋q1(1－q2)q2 ＝0.25×0.8＋0.25×0.2×0.8＝0.24. 因此E(ξ)＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63. (3)用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”， 用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，则 P(C)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝P3＋P4 ＝0.48＋0.24＝0.72. 1P(D)＝q22＋C2q2(1－q2)q2 ＝0.82＋2×0.8×0.2×0.8＝0.896. 故P(D)＞P(C)． 即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率．
高考数学复习素材：第十章第9课时知能演练轻松闯关
