(Ⅰ) 求抛物线的方程;
(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程; (Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.
【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线的方程为,由结合,解得.所以抛物线的方程为.
(Ⅱ) 抛物线的方程为,即,求导得 设,(其中),
则切线的斜率分别为,, 所以切线：,即,即 同理可得切线的方程为 因为切线均过点,所以, 所以为方程的两组解. 所以直线的方程为. (Ⅲ) 由抛物线定义可知,, 所以
联立方程,消去整理得
由一元二次方程根与系数的关系可得, 所以
又点在直线上,所以, 所以
所以当时, 取得最小值,且最小值为.
练习2：（2013年辽宁数学（理））如图,抛物线,点在抛物线上,过作的切线,切点为(为原点时,重合于),
切线的斜率为.
(I)求的值;(II)当在上运动时,求线段中点的轨迹方.
【答案】
模型三：相交弦过定点
相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用。参考尼尔森数学第一季_3下，优酷视频。
但是具体解题而言，相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程一定要注意思路，同时注意总结这类题的通法。
例题：如图，已知直线L：的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线上的射影依次为点D、E。连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。
法一：解： 先探索，当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交于FK中点N ,且猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点
。
证明：设，当m变化时首先AE过定点N
∴KAN=KEN ∴A、N、E三点共线 同理可得B、N、D三点共线
∴AE与BD相交于定点
法2：本题也可以直接得出AE和BD方程，令y=0，得与x轴交点M、N,然后两个坐标相减=0.计算量也不大。
◆方法总结：方法1采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题一类的通法。这一类题在答题过程中要注意步骤。
x22例题、已知椭圆C：?y?1，若直线l:x?t(t?2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任
4一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。
方法1：点A1、A2的坐标都知道，可以设直线PA1、PA2的方程，直线PA1和椭圆交点是A1(-2,0)和M，通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以求出点N的坐标。动点P在直线l:x?t(t?2)上，相当于
知道了点P的横坐标了，由直线PA1、PA2的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M、N点的坐标，求出直线MN的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在。
解：设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线A1M的斜率为k1,则直线A1M的方程为y?k1(x?2)，由
?y?k1(x?2)222(1?4k)x?16kx?16k?4?0 消y整理得?21212?x?4y?44k116k12?42?8k12Q?2和x1是方程的两个根，??2x1?y?则，， x?112221?4k11?4k11?4k12?8k124k1即点M的坐标为(,)， 221?4k11?4k128k2?2?4k2同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为(,) 221?4k21?4k2Qyp?k1(t?2),yp?k2(t?2)
?k1?k2y?y1y2?y12??，Q直线MN的方程为：?，
k1?k2tx?x1x2?x1x2y1?x1y24，将点M、N的坐标代入，化简后得：x?
y1?y2t4344?2Q椭圆的焦点为(3,0)??3，即t?
3tt?令y=0，得x?又Qt?2，?0?故当t?43时，MN过椭圆的焦点。 3222方法总结：本题由点A1(-2,0)的横坐标－2是方程(1?4k1)x?16k2x?16k1?4?0的一个根，结合
?y?k2(x?2)4k12?8k12y?韦达定理，得到点M的横纵坐标：x1?，；其实由消y整理得?212221?4k11?4k1?x?4y?422?4k216k2?48k2?2(1?4k)x?16k2x?16k?4?0，得到2x2?y?，即，很快。不过如x?222221?4k21?4k21?4k22222216k12?4果看到：将?2x1?中的k1用k2换下来，x1前的系数2用－2换下来，就得点N的坐标21?4k128k2?2?4k2(,)，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少计算量。221?4k21?4k2本题的关键是看到点P的双重身份：点P即在直线A1M上也在直线A2N上，进而得到
k1?k22??，由直
k1?k2t线MN的方程
y?y1y2?y1xy?x1y2?得直线与x轴的交点，即横截距x?21，将点M、N的坐标代入，x?x1x2?x1y1?y2化简易得x?434344，由?3解出t?，到此不要忘了考察t?是否满足t?2。
33tt◆方法2：先猜想过定点，设弦MN的方程，得出A1M、A2N方程，进而得出与T交点Q、S，两坐标相减=0.如下：
设lMN:x?my?3,联立椭圆方程，整理：（4?m2）y2?23my?1?0;?求出范围；,得直线方程：,N（x2,y2）设M（x1,y1）lA1M:y?y2y1(x?2);(x?2),lA2N:y?x2?2x1?2若分别于lT相较于Q、S：易得Q（t,yy1,S(t,2(t?2))(t?2)）x2?2x1?2yy1(t?2)?2(t?2)x2?2x1?2
yQ?yS?整理??4my1y2?2(t?3)(y1?y2)?(3t?4)(y1?y2)(x1?2)(x2?2)-4m1(3t?4)?(3t?4)(y1?y2)][(x1?2)(x2?2)4?m2韦达定理代入?显然，当t?43时，猜想成立。3◆方法总结：法2计算量相对较小，细心的同学会发现，这其实是上文“切点弦恒过定点”的一个特例而已。因此，法2采用这类题的通法求解，就不至于思路混乱了。相较法1，未知数更少，思路更明确。
xy
练习1：（10江苏）在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆+=1的左右顶点为A,B，右焦点为F，
95设过点T(t,m)的直线TA,TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)，N(x2,y2)，其中m>0,y1>0,y2<0.
⑴设动点P满足PF－PB=4,求点P的轨迹 1
⑵设x1=2,x2=，求点T的坐标
3
⑶设t=9,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)
解析：问3与上题同。
练习2：已知椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．过椭圆的右焦点F任做一与坐
2
2
2
2
标轴不平行的直线与椭圆交于、两点，与所在的直线交于点Q.
（1）求椭圆的方程：
（2）是否存在这样直线，使得点Q恒在直线上移动？若存在,求出直线方程,若不存在,请说明理由.
解析：（1）设椭圆方程为 将、、代入椭圆E的方程，得 解得. ∴椭圆的方程
（也可设标准方程，知类似计分） （2）可知：将直线 代入椭圆的方程并整理．得 设直线与椭圆的交点， 由根系数的关系，得 直线的方程为： 由直线的方程为：，即 由直线与直线的方程消去，得
∴直线与直线的交点在直线上． 故这样的直线存在
模型四：动圆过定点问题
动圆过定点问题本质上是垂直向量的问题，也可以理解为“弦对定点张直角”的新应用。
222, 并且直线y?x?b是抛物线y2?4x的一例题1.已知椭圆C:x2?y2?1(a?b?0) 的离心率为2ab条切线。（I）求椭圆的方程；
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型
