概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
集合与简易逻辑
一．集合元素具有确定性、无序性和互异性.
(1)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a?b|a?P,b?Q}，若P?{0,2,5}，Q?{1,2,6}，则P+Q中元素的有________个。
(2)集合A?{x|ax?1?0}，B?x|x2?3x?2?0，且AB?B，则实数a＝___. 二．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次
2n?1，为2n， 2n?1， 2n?2. （1）满足{1,2}??M?{1,2,3,4,5}集合M有______个。 三．抓住集合的代表元素
(1)设集合M?{x|y?x?2}，集合N＝y|y?x2,x?M，则M????N?___
四．充要条件。
给出下列命题：
① 实数a?0是直线ax?2y?1与2ax?2y?3平行的充要条件； ② 若a,b?R,ab?0是a?b?a?b成立的充要条件；
③ 已知x,y?R，“若xy?0，则x?0或y?0”的逆否命题是“若x?0或y?0则xy?0”； ④“若a和b都是偶数，则a?b是偶数”的否命题是假命题 。 其中正确命题的序号是_______ 五．一元一次不等式的解法：
1已知关于x的不等式(a?b)x?(2a?3b)?0的解集为(??,?)，则关于x的不等式
3(a?3b)x?(b?2a)?0的解集为_______ 六．一元二次不等式的解集
解关于x的不等式：ax2?(a?1)x?1?0。 七．对于方程ax2?bx?c?0有实数解的问题。
（1）?a?2?x2?2?a?2?x?1?0对一切x?R恒成立，则a的取值范围是_______
（2）若在[0,]内有两个不等的实根满足等式cos2x?3sin2x?k?1，则实数k的范围是__.
2?函 数
一、求函数值域（最值）的方法：
（1）当x?(0,2]时，函数f(x)?ax2?4(a?1)x?3在x?2时取得最大值，则a的取值范围是 （2）y?2sin2x?3cosx?1的值域为_____ 二、分段函数的概念。
2??(x?1).(x?1)设函数f(x)??，则使得f(x)?1的自变量x的取值范围是__
??4?x?1.(x?1)三、函数的单调性。
（1）已知函数f(x)?x3?ax在区间[1,??)上是增函数，则a的取值范围是____
（2）若函数f(x)?x2?2(a?1)x?2 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a的取值范围是______
(
不等式
一．不等式的性质：
对于实数a,b,c中，给出下列命题：
①若a?b,则ac2?bc2； ②若ac2?bc2,则a?b；
11 ③若a?b?0,则a2?ab?b2； ④若a?b?0,则?；
abba ⑤若a?b?0,则?； ⑥若a?b?0,则a?b；
abab11? ⑦若c?a?b?0,则； ⑧若a?b,?，则a?0,b?0。 c?ac?bab其中正确的命题是______
二．利用重要不等式求函数最值
（1）下列命题中正确的是
1x2?3 A、y?x?的最小值是2 B、y?的最小值是2
2xx?24 C、y?2?3x?(x?0)的最大值是2?43
x4 D、y?2?3x?(x?0)的最小值是2?43
x（2）若x?2y?1，则2x?4y的最小值是______
11（3）正数x,y满足x?2y?1，则?的最小值为______
xyax?b?0的解集为____ （4）关于x的不等式ax?b?0的解集为(1,??)，则不等式
x?2x?2?0的解集为________ （5）关于x的不等式ax?b?0 的解集为(??,1)，则不等式
ax?b平面向量
一．向量有关概念：
下列命题：（1）若a?b，则a?b。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB?DC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则AB?DC。（5）若a?b,b?c，则a?c。（6）若a//b,b//c，则a//c。其中正确的是_______ 二．向量的表示方法：
（1）若a?(1,1),b?(1,?1),c?(?1,2)，则c?______
（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. e1?(0,0),e2?(1,?2) B. e1?(?1,2),e2?(5,7)
C. e1?(3,5),e2?(6,10) D. e1?(2,?3),e2?(,?)
（3）已知AD,BE分别是?ABC的边BC,AC上的中线,且AD?a,BE?b,则BC可用向量a,b表示为_____
（4）已知?ABC中，点D在BC边上，且CD?2DB，CD?rAB?sAC，则r?s的值是___
三．平面向量的数量积：
（1）△ABC中，|AB|?3，|AC|?4，|BC|?5，则AB?BC?_________
?????????1234????????????????，则k等于____ 4（3）已知a,b是两个非零向量，且a?b?a?b，则a与a?b的夹角为____
（2）已知a?(1,),b?(0,?),c?a?kb,d?a?b，c与d的夹角为
1212（4）已知a?(?,2?)，b?(3?,2)，果a与b的夹角为锐角，则?的取值范围是______
??????13（5）已知?OFQ的面积为S，且OF?FQ?1，若?S?，则OF,FQ夹角?的取值
22范围是_________ 四．向量的运算：
1．几何运算： （1）化简：①AB?BC?CD?___；②AB?AD?DC?____；③(AB?CD)?(AC?BD)?_____
??????????（2）若正方形ABCD的边长为1，AB?a,BC?b,AC?c，则|a?b?c|＝_____ （3）若O是ABC所在平面内一点，且满足OB?OC?OB?OC?2OA，则ABC的形状为____
2．坐标运算：设a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则：
（1）已知点A(2,3),B(5,4)，C(7,10)，若AP?AB??AC(??R)，则当?＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上
(2)已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a?3b|＝_____ 五．向量平行(共线)的充要条件：
(1)若向量a?(x,1),b?(4,x)，当x＝_____时a与b共线且方向相同
（2）已知a?(1,1),b?(4,x)，u?a?2b，v?2a?b，且u//v，则x＝______ （3）设PA?(k,12),PB?(4,5),PC?(10,k)，则k＝_____时，A,B,C共线 六．向量垂直的充要条件：
已知OA?(?1,2),OB?(3,m)，若OA?OB，则m?
三角函数
1.（1）若0?2x?2?，则使1?sin22x?cos2x成立的x的取值范围是____ （2）已知f(cosx)?cos3x，则f(sin30?)的值为______ 2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路
2?1?（1）已知tan(???)?，tan(??)?，那么tan(??)的值是_____
5444??1?2（2）已知0???????，且cos(??)??，sin(??)?，求cos(???)的值
229233（3）已知?,?为锐角，sin??x,cos??y，cos(???)??，则y与x的函数关系为
5______
3、辅助角公式中辅助角的确定：
若方程sinx?3cosx?c有实数解，则c的取值范围是___________.
?31（1）若函数y?a?bsin(3x?)的最大值为，最小值为?，则a?__，b?＿
226（2）函数f(x)?sinx?3cosx（x?[?,]）的值域是____ 224. 三角形中的有关公式：
（1）在?ABC中，A＞B是sinA?sinB成立的_____条件
??a2?b2?c2（2）在?ABC中，若其面积S?，则?C=____
431B?C（3）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，a?3,cosA?,则cos2= ，3222b?c的最大值为 数列
一．数列的概念：
n(n?N*)，则在数列{an}的最大项为__________ 已知an?2n?156二．等差数列的有关概念：
（1）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ （2）已知数列 {an}的前n项和Sn?12n?n2，求数列{|an|}的前n项和Tn 三．等比数列的性质：
（1）在等比数列{an}中，a3?a8?124,a4a7??512，公比q是整数，则a10=___
（2）各项均为正数的等比数列{an}中，若a5?a6?9，则log3a1?log3a2??log3a10? (3)数列?an?的前n项和为Sn（n?N）， 关于数列?an?有下列三个命题：①若
b?R?，an?an?1(n?N)，则?an?既是等差数列又是等比数列；②若Sn?an2?bn?a、则?an?是
等差数列；③若Sn?1???1?n，则?an?是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 四.数列的通项的求法：
①已知{an}的前n项和满足log2(Sn?1)?n?1，求an
111②数列{an}满足a1?2a2??nan?2n?5，求an
222012n?3Cn?5Cn??(2n?1)Cn?(n?1)2n； (3)求证：Cn1（4）在数列{an}中，an?，且Sｎ＝９，则n＝_____
n?n?1
直线和圆
一．直线的倾斜角：
（1）直线xcos??3y?2?0的倾斜角的范围是____
?2?（2）过点P(?3,1),Q(0,m)的直线的倾斜角的范围??[,],那么m值的范围是______
33二．直线的斜率：
(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件 三．直线的方程：
（1）直线(m?2)x?(2m?1)y?(3m?4)?0，不管m怎样变化恒过点______
（2）若曲线y?a|x|与y?x?a(a?0)有两个公共点，则a的取值范围是_______ 八．对称
（1）点Ａ（４，５）关于直线l的对称点为Ｂ(－2,7)，则l的方程是_________ （2）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线l:3x－4y+4=0反射。果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________
（3）直线2x―y―4=0上有一点Ｐ，它与两定点Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距离之差最大，则Ｐ的坐标是______
十．圆的方程：
（1）圆C与圆(x?1)2?y2?1关于直线y??x对称，则圆C的方程为____________ （2）圆心在直线2x?y?3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________ （3）已知M(a,b)(ab?0)是圆O:x2?y2?r2内一点，现有以M为中点的弦所在直线m和直线l:ax?by?r2，则
A．m//l，且l与圆相交 B．l?m，且l与圆相交 C．m//l，且l与圆相离 D．l?m，且l与圆相离
（4）果直线l将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是__
（5）方程x2+y２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____
（6）直线x?2y?0被曲线x2?y2?6x?2y?15?0所截得的弦长等于
（7）一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 （8）已知圆C：x2?(y?1)2?5，直线L：mx?y?1?m?0。①求证：对m?R，直线L与圆C总有两个不同的交点；②设L与圆C交于A、B两点，若AB?17，求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. 十三．圆与圆的位置关系
x2y2双曲线2?2?1的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别
ab以线段PF1、A1A2为直径的两圆位置关系为
2024高考数学概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
