类型三 其他探究题
例1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）直接写出线段EG与CG的数量关系；
（2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）
B F C B C B 图3
C E G E F A D
A G E F D
A D
图1
图2
【答案】解：（1）CG=EG
（2）（1）中结论没有发生变化，即EG=CG．
证明：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点． 在△DAG与△DCG中，
∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG， ∴ △DAG≌△DCG． ∴ AG=CG．
B N 图 2 E A M G F N D
C 在△DMG与△FNG中，
∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG， ∴ △DMG≌△FNG． ∴ MG=NG
在矩形AENM中，AM=EN． 在Rt△AMG 与Rt△ENG中， ∵ AM=EN， MG=NG， ∴ △AMG≌△ENG． ∴ AG=EG． ∴ EG=CG．
（3）（1）中的结论仍然成立． 例2、请阅读下列材料
B E A D G F C 图3
问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2， PB=3， PC=1．求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边
长．
李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′PC是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C=150°．进而求出等边△ABC的边长为7．问题得到解决．
请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．
图1 图2 图3
【答案】解：（1）如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．
∴AP′=PC=1，BP=BP′=2． 连结P P′， 在Rt△BP′P中，
∵ BP=BP′=2，∠PBP′=90°， ∴ P P′=2，∠BP′P=45°．
在△AP′P中， AP′=1，P P′=2，AP=5， ∵ 12?22?(5)2，即AP′ 2 + PP′ 2 = AP2． ∴ △AP′P是直角三角形，即∠A P′ P=90°． ∴ ∠AP′B=135°． ∴ ∠BPC=∠AP′B=135°．
（2）过点B作BE⊥AP′ 交AP′ 的延长线于点E． ∴ ∠EP′ B=45°. ∴ EP′=BE=1. ∴ AE=2.
∴ 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=5． ∴ ∠BPC=135°，正方形边长为5．
例3、如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段
AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结 QE并延长交射线BC于点F.
（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF= °，猜想∠QFC= °；
（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；
（3）已知线段AB=23，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．
【答案】解: （1）?EBF? 30° ?QFC= 60° （2）?QFC=60°
不妨设BP＞3AB, 如图1所示 ∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP ∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP ∴∠BAP=∠EAQ 在△ABP和△AEQ中 AB=AE，∠BAP=∠EAQ， AP=AQ ∴△ABP≌△AEQ（SAS） ∴∠AEQ=∠ABP=90° ∴∠BEF?180???AEQ??AEB?180??90??60??30? ∴?QFC=?EBF??BEF?30??30??60° (事实上当BP≤3AB时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分） (3)在图1中，过点F作FG⊥BE于点G ∵△ABE是等边三角形
∴BE=AB=23，由（1）得?EBF?30° 在Rt△BGF中，BG?B F 图1 A E P C B A E F P 图2 C Q Q BEBG?3 ∴BF=?2 ∴EF=2 2cos30?∵△ABP≌△AEQ ∴QE=BP=x ∴QF=QE＋EF?x?2 过点Q作QH⊥BC，垂足为H
在Rt△QHF中，y?QH?sin60?gQF?3(x?2)（x＞0） 2即y关于x的函数关系式是：y?3x?3. 2例4、如图，将OA= 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒１个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．
（1）点B的坐标为；用含t的式子表示点P的坐标为；
（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求t为何值时，S有最大值？
（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的
面积是△ONC面积的
P1？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 3yyCNBCB
OMA【答案】解：（1）（6，4）；（t,t）.
（2）∵S△OMP =
23xO（备用图）
Ax12×OM×t， 23∴S =
1212×（6 -t）×t=?t+2t． 233132 ＝?(t?3)?3（0 < t <6）． ∴当t?3时，S有最大值．
（3）存在．
由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4）， 则直线ON的函数关系式为：y?4x． 3bx?b， 3y设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：y??T2 43b??y?xx?????34?b解方程组?得?
b4b?y??x?b?y???34?b??∴直线ON与MT的交点R的坐标为(CED2 NBT1 R1 R2 PD1 OMAx3b4b,)． 4?b4?b（备用图）
例5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合)，连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ.
(1)如图①，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系；
(2)如图②，当点P在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； (3)如图③，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝6，请直接写出BQ的长．
【答案】解：(1)CP＝BQ; 【解法提示】如解图①，连接OQ，
由旋转可知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°，∴△POQ是等边三角形， ∴OP＝OQ，∠POQ＝60°， 在Rt△ABC中，O是AB中点， ∴OC＝OA＝OB，
∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ， ∴∠COP＝∠BOQ，
??
OC＝OB在△COP和△BOQ中，?∠COP＝∠BOQ，??OP＝OQ∴△COP≌△BOQ(SAS)， ∴CP＝BQ；
(2)成立，理由如下： 如解图②，连接OQ，
第3题图
第3题解图①
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