=﹣t2+，
当t=0时，S取最大值，即M（0，1）． 由勾股定理，得 AB=
=
，
设M到AB的距离为h，由三角形的面积，得 h=
=
．
．
点M到直线AB的距离的最大值是
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用垂线间的关系得出直线PA，或PB的解析式，又利用解方程组；解（3）的关键是利用三角形的底一定时面积与高成正比得出最大面积时高最大．
26．（12分）（2017?永州）已知点O是正方形ABCD对角线BD的中点． （1）如图1，若点E是OD的中点，点F是AB上一点，且使得∠CEF=90°，过点E作ME∥AD，交AB于点M，交CD于点N． ①∠AEM=∠FEM； ②点F是AB的中点；
（2）如图2，若点E是OD上一点，点F是AB上一点，且使△EFC的形状，并说明理由；
（3）如图3，若E是OD上的动点（不与O，D重合），连接CE，过E点作EF⊥CE，交AB于点F，当
=时，请猜想
的值（请直接写出结论）．
=
=，请判断
【分析】（1）①由正方形的性质得出∠ABD=45°，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AE=CE，由HL证明Rt△AME≌Rt△ENC，得出∠AEM=∠ECN，再由角的互余关系即可得出结论；
26
②由三角形内角和定理得出∠EAF=∠EFA，证出AE=FE，由等腰三角形的性质得出AM=FM，AF=2AM，求出得出
=，即可得出结论；
=，由平行线分线段成比例定理得出
=，
（2）过点E作ME∥AD，交AB于点M，交CD于点N．同（1）得：AE=CE，Rt△AME≌Rt△ENC，得出∠AEM=∠ECN，∵
=，O是DB的中点，证出
=，
得出AF=2AM，即M是AF的中点，由线段垂直平分线的性质得出AE=FE，证出∠AEM=∠FEM，FE=CE，由角的互余关系证出∠CEF=90°，即可得出结论； （3）同（1）即可得出答案．
【解答】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AE=CE， ∵ME∥AD，
∴ME⊥AB，∠AME=∠BME=∠BAD=90°，∠ENC=∠ADC=90°， ∴△BME是等腰直角三角形，四边形BCNM是矩形， ∴BM=EM，BM=CN， ∴EM=CN，
在Rt△AME和Rt△ENC中，∴Rt△AME≌Rt△ENC（HL）， ∴∠AEM=∠ECN， ∵∠CEF=90°， ∴∠FEM+∠CEN=90°， ∵∠ECN+∠CEN=90°， ∴∠FEM=∠ECN， ∴∠AEM=∠FEM；
②在△AME和△FME中，∠AME=∠FME=90°，∠AEM=∠FEM， ∴∠EAF=∠EFA， ∴AE=FE， ∵ME⊥AF， ∴AM=FM，
27
，
∴AF=2AM，
∵点E是OD的中点，O是BD的中点， ∴
=，
∵ME∥AD， ∴=， ∴
=，
∴点F是AB的中点；
（2）解：△EFC是等腰直角三角形；理由如下：
过点E作ME∥AD，交AB于点M，交CD于点N．如图所示：同（1）得：AE=CE，Rt△AME≌Rt△ENC， ∴∠AEM=∠ECN， ∵=，O是DB的中点， ∴
=，
∵ME∥AD， ∴=， ∵
=，
∴AF=2AM，即M是AF的中点， ∵ME⊥AB， ∴AE=FE，
∴∠AEM=∠FEM，FE=CE， ∵∠ECN+∠CEN=90°， ∴∠FEM+∠CEN=90°， ∴∠CEF=90°，
∴△EFC是等腰直角三角形； （3）解：当
=时，
=
；理由同（1）．
28
【点评】本题是综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、等腰直角三角形的判定、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
29
历年中考数学模拟试题(含答案) (149)
