§6.3 等比数列及其前n项和
考纲解读
考点 内容解读 要求 高考示例 2017课标全国Ⅱ,3; 2016课标全国Ⅰ,15; 2015课标Ⅱ,4 2017江苏,9; 2014课标Ⅱ,17 常考题型 预测热度 选择题 填空题 解答题 选择题 填空题 解答题 ①理解等比数列的概念; 1.等比数列及其性②掌握等比数列的通项公式与前n项质 和公式; ③能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应2.等比数列前 的问题; ④了解等比数列与指数函数的关系 n项和公式 理解 ★★★ 掌握 ★★★ 分析解读 1.理解等比数列的概念、掌握等比数列的通项公式和前n项和公式.2.体会等比数列与指数函数的关系.3.求通项公式、求前n项和及等比数列相关性质的应用是高考热点.
五年高考
考点一 等比数列及其性质
1.(2017课标全国Ⅱ,3,5分)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( ) A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 答案 B
2.(2016天津,5,5分)设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的( )
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C
3.(2015课标Ⅱ,4,5分)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( ) A.21 B.42 C.63 D.84 答案 B
4.(2017北京,10,5分)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则= . 答案 1
5.(2016课标全国Ⅰ,15,5分)设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为 . 答案 64
6.(2015湖南,14,5分)设Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an= .
n-1
答案 3
教师用书专用(7—13)
7.(2013江西,3,5分)等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( ) A.-24 B.0 C.12 D.24 答案 A 8.(2013福建,9,5分)已知等比数列{an}的公比为q,
*
bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+…+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2·…·am(n-1)+m(m,n∈N),则以下结论一定正确的是( )
m
A.数列{bn}为等差数列,公差为q
2m
B.数列{bn}为等比数列,公比为q
记
1
C.数列{cn}为等比数列,公比为 D.数列{cn}为等比数列,公比为 答案 C
5
9.(2014广东,13,5分)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e,则ln a1+ln a2+…+ln a20= . 答案 50
10.(2014天津,11,5分)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为 . 答案 -
11.(2014江苏,7,5分)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是 . 答案 4
12.(2014安徽,12,5分)数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q= . 答案 1
13.(2013江苏,14,5分)在正项等比数列{an}中,a5=,a6+a7=3.则满足a1+a2+…+an>a1a2…an的最大正整数n的值为 . 答案 12
考点二 等比数列前n项和公式
1.(2013课标全国Ⅱ,3,5分)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( ) A. B.- C. D.- 答案 C
2.(2017江苏,9,5分)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8= . 答案 32
3.(2015安徽,14,5分)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于 .
n
答案 2-1
*
4.(2016四川,19,12分)已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N. (1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{an}的通项公式;
2
(2)设双曲线x-=1的离心率为en,且e2=,证明:e1+e2+…+en>. 解析 (1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1, 两式相减得到an+2=qan+1,n≥1. 又由S2=qS1+1得到a2=qa1,
故an+1=qan对所有n≥1都成立.
所以,数列{an}是首项为1,公比为q的等比数列.
n-1
从而an=q.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得
2
2a3=3a2+2,即2q=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,
n-1*
由已知,q>0,故q=2.所以an=2(n∈N).
n-1
(2)由(1)可知,an=q.
2
所以双曲线x-=1的离心率en==. 由e2==,解得q=.
2(k-1)2(k-1)
因为1+q>q,
k-1*
所以>q(k∈N).
n-1
于是e1+e2+…+en>1+q+…+q=, 故e1+e2+…+en>.
n-1
疑难突破 由(1)可得en=,因为不等式左边是e1+e2+…+en,直接求和不行,利用放缩法得en=>=q,从而得
01n-1
e1+e2+…+en>q+q+…+q,化简即可.
评析 本题涉及的知识点比较多,由递推思想推出数列{an}是等比数列,由等差中项求出q,由放缩法证明不等
2
式成立.综合性较强.
5.(2014课标Ⅱ,17,12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1. (1)证明是等比数列,并求{an}的通项公式; (2)证明++…+<.
解析 (1)由an+1=3an+1得an+1+=3.
又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列. an+=,因此{an}的通项公式为an=. (2)由(1)知=.
nn-1
因为当n≥1时,3-1≥2×3, 所以≤.
于是++…+≤1++…+=<. 所以++…+<.
教师用书专用(6—11)
6.(2013北京,10,5分)若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q= ;前n项和Sn= .
n+1
答案 2;2-2
2
7.(2013辽宁,14,5分)已知等比数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和.若a1,a3是方程x-5x+4=0的两个根,则S6= . 答案 63
n
8.(2015山东,18,12分)设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn=3+3. (1)求{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足anbn=log3an,求{bn}的前n项和Tn.
n
解析 (1)因为2Sn=3+3,所以2a1=3+3,故a1=3,
n-1
当n>1时,2Sn-1=3+3,
nn-1n-1n-1
此时2an=2Sn-2Sn-1=3-3=2×3,即an=3, 所以an=
(2)因为anbn=log3an, 所以b1=,
1-nn-11-n
当n>1时,bn=3log33=(n-1)·3. 所以T1=b1=; 当n>1时,
-1-21-n
Tn=b1+b2+b3+…+bn=+[1×3+2×3+…+(n-1)×3],
0-12-n
所以3Tn=1+[1×3+2×3+…+(n-1)×3], 两式相减,得
0-1-22-n1-n
2Tn=+(3+3+3+…+3)-(n-1)×3
1-n
=+-(n-1)×3 =-,
所以Tn=-.
经检验,n=1时也适合. 综上可得Tn=-.
9.(2015江苏,20,16分)设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列. (1)证明:,,,依次构成等比数列;
(2)是否存在a1,d,使得a1,,,依次构成等比数列?并说明理由;
(3)是否存在a1,d及正整数n,k,使得,,,依次构成等比数列?并说明理由.
d
解析 (1)证明:因为==2(n=1,2,3)是同一个常数,所以,,,依次构成等比数列. (2)令a1+d=a,则a1,a2,a3,a4分别为a-d,a,a+d,a+2d(a>d,a>-2d,d≠0). 假设存在a1,d,使得a1,,,依次构成等比数列,
43624
则a=(a-d)(a+d),且(a+d)=a(a+2d).
364
令t=,则1=(1-t)(1+t),且(1+t)=(1+2t),
3
部编版2024高考数学一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和练习理
