2015年考研数学一真题
一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．
１．设函数f(x)在(??,??)上连续，其二阶导数f??(x)的图形如右所示，则曲线y?f(x)在(??,??)的拐点个数为
（A）0（B）1（C）2（D）3
【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点x?0．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C） 2．设y?图
12x1e?(x?)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程y???ay??by?cex的一个特解，则 23（A）a??3,b?2,c??1（B）a?3,b?2,c??1 （C）a??3,b?2,c?1（D）a?3,b?2,c?1 2【详解】线性微分方程的特征方程为r?ar?b?0，由特解可知r1?2一定是特征方程的一个实根．如果r2?1x不是特征方程的实根，则对应于f(x)?ce的特解的形式应该为Q(x)e，其中Q(x)应该是一个零次多项式，x即常数，与条件不符，所以r2?1也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得
y*?xex是原来方程的一个解，代入可得c??1应该选（A） a??(2?1)??3b,??2?1，同时2３．若级数?an?1?n条件收敛，则x?3,x?3依次为级数?nan(x?1)n的
n?1?（Ａ）收敛点，收敛点（Ｂ）收敛点，发散点
(Ｃ）发散点，收敛点（Ｄ）发散点，发散点 【详解】注意条件级数
?an?1?n条件收敛等价于幂级数
?an?1?nxn在x?1处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为1，
?an?1nan?1，所以?nan(x?1)n的收敛半径R?lim?1，绝对收敛域为(0,2)，显然即limn??an??(n?1)an?1nn?1x?3,x?3依次为收敛点、发散点，应该选（B）
４．设D是第一象限中由曲线2xy?1,4xy?1与直线y?x,y?连续，则
3x所围成的平面区域，函数f(x,y)在D上
??f(x,y)dxdy?（）
D
?（Ａ）
??d??341sin2?12sin2?1sin2?12sin2??1sin2?12sin2?1sin2?12sin2?f(rcos?,rsin?)rdr（Ｂ）??3d??4f(rcos?,rsin?)rdr
??（Ｃ）
??d??34f(rcos?,rsin?)dr （Ｄ）??3d??4f(rcos?,rsin?)dr
【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：
???????3?4也就是D：?
11??r??sin???2sin???1sin2?12sin2?所以
??f(x,y)dxdy???d??3f(rcos?,rsin?)rdr，所以应该
选（B）．
D4?111??1?????5．设矩阵A??12a?,b??d?，若集合???1,2?，则线性方程组Ax?b有无穷多解的充分必要条件?14a2??d2?????是
（A）a??,d??（B）a??,d?? （C）a??,d??（D）a??,d?? 【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换： 方程组无穷解的充分必要条件是r(A)?r(A,b)?3，也就是(a?1)(a?2)?0,(d?1)(d?2)?0同时成立，当然应该选（D）． 2226．设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x?Py下的标准形为2y1?y2?y3，其中P?e1,e2,e3，若
??Q??e1,?e3,e2?，则f(x1,x2,x3)在x?Qy下的标准形为
222222（A）2y1?y2?y3（B）2y1?y2?y3 222222（C）2y1?y2?y3（D）2y1?y2?y3
?100??100??100???????TT【详解】Q??e1,?e3,e2???e1,e2,e3??001??P?001?，Q??00?1?P
?0?10??0?10??010????????100??100??100??2??100??2???T??????????T1001??1所以QAQ??00?1?PAP?001???00?1???????
?010??0?10??010?????1??1??????????0?10???故选择（A）．
7．若A,B为任意两个随机事件，则（）
（A）P(AB)?P(A)P(B)（B）P(AB)?P(A)P(B)
（C）P(AB)?P(A)?P(B)P(A)?P(B)（D）P(AB)?
22P(A)?P(B)故选择（C）．
2【详解】P(A)?P(AB),P(B)?P(AB),所以P(AB)?8．设随机变量X,Y不相关，且EX?2,EY?1,DX?3，则E(X(X?Y?2))?（）
（A）?3（B）3（C）?5（D）5
【详解】E(X(X?Y?2))?E(X)?E(XY)?2EX?DX?(EX)?EXEY?2EX?5 故应该选择（D）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上） 9．lim22ln(cosx)? x?0x2ln(cosx)?tanx1?lim??． x?0x?0x22x2【详解】lim?10．?sinx??x?dx?． ???2?1?cosx??2【详解】只要注意?sinx为奇函数，在对称区间上积分为零， 1?cosx??2?sinx?2所以????x?dx?2?xdx?. 0?1?cosx4?2?211．若函数z?z(x,y)是由方程e?xyz?x?cosx?2确定，则dz|(0,1)?． 【详解】设F(x,y,z)?e?xyz?x?cosx?2，则
zzFy?(0,1,0)Fx?(0,1,0)?z?z且当x?0,y?1时，z?0，所以|(0,1)????1,|(0,1)???0,
?x?yFz?(0,1,0)Fz?(0,1,0)也就得到dz|(0,1)??dx.
12．设?是由平面x?y?z?1和三个坐标面围成的空间区域，则
???(x?2y?3z)dxdydz?．
?【详解】注意在积分区域内，三个变量x,y,z具有轮换对称性，也就是
2?113．n阶行列式
02000022?．
0022?12n?1n?1【详解】按照第一行展开，得Dn?2Dn?1?(?1)2(?1)?2Dn?1?2，有Dn?2?2(Dn?1?2) n?1n?1由于D1?2,D2?6，得Dn?2(D1?2)?2?2?2．
14．设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(1,0;1,1;0)，则P?XY?Y?0??．
【详解】由于相关系数等于零，所以X，Y都服从正态分布，X~N(1,1),Y~N(0,1)，且相互独立． 则X?1~N(0,1)． 三、解答题
15．（本题满分10分）设函数f(x)?x?aln(1?x)?bxsinx，g(x)?kx在x?0时为等价无穷小，求常数a,b,k的取值．
【详解】当x?0时，把函数f(x)?x?aln(1?x)?bxsinx展开到三阶的马克劳林公式，得 3??1?a?0??a由于当x?0时，f(x),g(x)是等价无穷小，则有???b?0， ?2?a?k??3解得，a??1,b??11,k??. 2316．（本题满分10分）
设函数y?f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0?I，曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线x?x0及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)?2，求f(x)的表达式． 【详解】y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y?f?(x0)(x?x0)?f(x0) 令y?0，得x?x0?f(x0)
f?(x0)曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线x?x0及x轴所围成区域的面积为 整理，得y??11121y，解方程，得?C?x，由于f(0)?2，得C?
y882
所求曲线方程为y?8. 4?x17．（本题满分10分）
设函数f(x,y)?x?y?xy，曲线C:x?y?xy?3，求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数． 【详解】显然
22?f?f?1?y,?1?x． ?x?y??f?f?f(x,y)?x?y?xy在(x,y)处的梯度gradf??,???1?y,1?x?
??x?y?f(x,y)在(x,y)处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模gradf?(1?y)2?(1?x)2 所以此题转化为求函数F(x,y)?(1?x)?(1?y)在条件C:x?y?xy?3下的条件极值．用拉格朗日乘子法求解如下：
令L(x,y,?)?(1?x)?(1?y)??(x?y?xy?3) 22222222?F??2(1?x)?2x??y??0?x?解方程组?Fy??2(1?y)?2y??x??0，得几个可能的极值点?1,1?,(?1,?1),(2,?1),(?1,2)， ?2x?y2?xy?3??进行比较，可得，在点x?2,y??1或x??1,y?2处，方向导数取到最大，为9?3. 18．（本题满分10分） （1）设函数u(x),v(x)都可导，利用导数定义证明(u(x)v(x))??u?(x)v(x)?u(x)v?(x)； （2）设函数u1(x),u2(x),【详解】（1）证明：设y,un(x)都可导，f(x)?u1(x)u2(x)un(x)，写出f(x)的求导公式．
?u(x)v(x) 由导数的定义和可导与连续的关系
（2）f(x)?u1(x)u2(x)19．（本题满分10分）
un(x)
??z?2?x2?y2已知曲线L的方程为?，起点为A(0,2,0)，终点为B(0,?2,0)，计算曲线积分
??z?x?L(y?z)dx?(z2?x2?y)dy?(x2?y2)dz．
?x?cost?【详解】曲线L的参数方程为?y?2sint,
?z?cost?
起点A(0,2,0)对应t?20．（本题满分11分）
设向量组?1,?2,?3为向量空间R3的一组基，?1?2?1?2k?3,?2?2?2,?3??3?(k?1)?3． （1）证明：向量组?1,?2,?3为向量空间R3的一组基；
（2）当k为何值时，存在非零向量?，使得?在基?1,?2,?3和基?1,?2,?3下的坐标相同，并求出所有的非零向量?.
?2，终点为B(0,?2,0)对应t???2．
?2?【详解】（1）(?1,?2,?3)???1,?2,?3??0?2k?2因为01??20?， 0k?1??0012k200k?132?22k1?4?0，且?1,?2,?3显然线性无关，所以?1,?2,?3是线性无关的，当然是k?1向量空间R的一组基．
（2）设非零向量?在两组基下的坐标都是(x1,x2,x3)，则由条件 可整理得：x1(?1?2k?3)?x2?2?x3(?1?k?3)?0，所以条件转化为线性方程组 ??1?2k?3,?2,?1?k?3?x?0存在非零解． 从而系数行列式应该等于零，也就是 1由于?1,?2,?3显然线性无关，所以00110?0，也就是k?0． 0k2k?x1???此时方程组化为??1,?2,?1??x2??(x1?x3)?1?x2?2?0，
?x??3??x1??C??x1?x3?0????由于?1,?2线性无关，所以?，通解为?x2???0?，其中C为任意常数．
?x2?0?x???C???3???C???所以满足条件的???0?其中C为任意不为零的常数．
??C???21．（本题满分11分）
?02?3??1?20?????设矩阵A???13?3?相似于矩阵B??0b0?．
?1?2a??031?????（1）求a,b的值；
（2）求可逆矩阵P，使P?1AP为对角矩阵．
【详解】（1）因为两个矩阵相似，所以有trA?trB，A?B．
?3?a?2?b?a?4也就是?． ??2a?3?bb?5????1（2）由?E?B?200?(??1)2(??5)?0，得A，B的特征值都为?1??2?1,?3?5
??100??5?3?2???3?????解方程组(E?A)x?0，得矩阵A的属于特征值?1??2?1的线性无关的特征向量为?1??1?.?2??0?；
?0??1???????1???解方程组(5E?A)x?0得矩阵A的属于特征值?3?5的线性无关的特征向量为?3??1? ?1????2?3?1??100?????1?，则P?1AP??010?. 令P???1,?2,?3???10?011??005??????2?xln2,x?022．（本题满分11分）设随机变量X的概率密度为f(x)??
0,x?0?对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为次数．
求Y的分布函数；
（1） 求Y的概率分布； （2） 求数学期望EY. 【详解】（1）X进行独立重复的观测，得到观测值大于3的概率为 显然Y的可能取值为2,3,4,
k?2111?7?且P(Y?k)??Ck?1??88?8??（2）设S(x)?1?7??(k?1)??64?8??nk?2,k?2,3,4,
?n(n?1)xn?2?n?2??n????x2???2??(x)?????x????,x?1 ?31?x(1?x)n?2?n?2???23．（本题满分11分）
设总体X的概率密度为
其中?为未知参数，X1,X2,,Xn是来自总体的简单样本．
（1）求参数?的矩估计量；
（2）求参数?的最大似然估计量． 【详解】（1）总体的数学期望为
??2X?1． 令E(X)?X，解得参数?的矩估计量：?（2）似然函数为
显然L(?)是关于?的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使?尽可能大就可以，所以
??min(x,x,参数?的最大似然估计量为?12
,xn).
2015年考研数学一真题与解析
