24.常系数差分方程表示的系统必为线性移不变系统。( × ) 25.序列的傅里叶变换是周期函数。( √ )
26.因果稳定系统的系统函数的极点可能在单位圆外。( × )
27.FIR滤波器较之IIR滤波器的最大优点是可以方便地实现线性相位。(√ ) 28. 用矩形窗设计FIR滤波器，增加长度N可改善通带波动和阻带衰减。（ × ） 29. 采样频率fs=5000Hz，DFT的长度为2000，其谱线间隔为2.5Hz。（ √ ） 三、计算题
一、设序列x(n)={4，3，2，1} ， 另一序列h(n) ={1，1，1，1}，n=0,1,2,3 （1）试求线性卷积 y(n)=x(n)*h(n) （2）试求6点循环卷积。 （3）试求8点循环卷积。
二．数字序列 x(n)如图所示. 画出下列每个序列时域序列： (1) x(n-2); (2)x(3-n); (3)x[((n-1))6],(0≤n≤5);
(4)x[((-n-1))6],(0≤n≤5);
三．已知一稳定的LTI 系统的H(z)为
试确定该系统H(z)的收敛域和脉冲响应h[n]。 解：
系统有两个极点，其收敛域可能有三种形式，|z|<0.5, 0.5<|z|<2, |z|>2 因为稳定，收敛域应包含单位圆，则系统收敛域为：0.5<|z|<2
四．设x(n)是一个10点的有限序列
x（n）={ 2,3,1,4,-3,-1,1,1,0,6}，不计算DFT，试确定下列表达式的值。 (1) X(0), (2) X(5), (3) ?X(k)
k?09,（4）
?j2?k/5eX(k) ?k?090解：（1） WN?1X[0]??x[n]?14n?09（2）
91（3） x[0]??X[k]10k?09k?0?X[k]?10*x[0]?20?e?j(2?k/N)mX[k]?j(2?k/10)2（4） x[((n?m))N]19五． x(n)和h(n)是如下给定的有限序列x[((10?2))10]??eX[k ]10k?0x(n)={5, 2, 4, -1, 2}， h(n)={-3, 2, -1 } ?j(2?k/10)2e和h(n)X的线性卷积[k]?10*x[8y(n)= x(n)* h(n)]?0?x(n)(1) 计算；
k?09(2) 计算x(n)和h(n)的6 点循环卷积y1(n)= x(n)⑥h(n)； (3) 计算x(n)和h(n)的8 点循环卷积y2(n)= x(n)⑧h(n)； 比较以上结果，有何结论？ 解：（1）
y(n)= x(n)* h(n)={-15,4,-3,13,-4,3,2} (2)
y1(n)= x(n)⑥h(n)= {-13,4,-3,13,-4,3} (3)因为8>(5+3-1),
所以y3(n)= x(n)⑧h(n)＝{-15,4,-3,13,-4,3,2，0} y3(n)与y(n)非零部分相同。
六．用窗函数设计FIR滤波器时，滤波器频谱波动由什么决定 _____________，滤波器频谱过渡带由什么决定_______________。 解：窗函数旁瓣的波动大小，窗函数主瓣的宽度
七．一个因果线性时不变离散系统，其输入为x[n]、输出为y[n]，系统的差分方程如下：
y（n）-0.16y(n-2)= 0.25x(n-2)＋x(n) (1) 求系统的系统函数 H(z)=Y(z)/X(z); (2) 系统稳定吗?
(3) 画出系统直接型II的信号流图; (4) 画出系统幅频特性。 解：(1)方程两边同求Z变换：
Y(z)-0.16z-2Y(z)= 0.25z-2X(z)＋X(z)
(2)系统的极点为：0.4和－0.4,在单位圆内，故系统稳定。 (3)
x(n)z-1y(n)0.16z-10.25(4)
八．如果需要设计FIR低通数字滤波器，其性能要求如下： (1)阻带的衰减大于35dB, (2)过渡带宽度小于?/6.
请选择满足上述条件的窗函数，并确定滤波器h(n)最小长度N
窗函数矩形汉宁汉明布莱克曼主瓣宽度过渡带宽4?/N8?/N8?/N12?/N1.8?/N6.2?/N6.6?/N11?/N旁瓣峰值衰减(dB)-13-31-41-57阻带最小衰减(dB)-21-44-53-74解：根据上表，我们应该选择汉宁窗函数，
十．已知 FIR DF的系统函数为H(z)=3-2z-1+0.5z-2-0.5z-4＋2z-5-3z-6,试分别画出直接型、线性相位结构量化误差模型。
十一．两个有限长的复序列x[n]和h[n]，其长度分别为N 和M，设两序列的线性卷积为y[n]=x[n]*h[n]，回答下列问题：. (1) 序列y[n]的有效长度为多长？
(2) 如果我们直接利用卷积公式计算y[n] ，那么计算全部有效y[n]的需要多少次复数乘法？
(3) 现用FFT 来计算y[n]，说明实现的原理，并给出实现时所需满足的条件，画出实现的方框图，计算该方法实现时所需要的复数乘法计算量。 解：(1) 序列y[n]的有效长度为：N+M-1；
(2) 直接利用卷积公式计算y[n]， 需要MN次复数乘法 (3)
补零L点-DFTL点-IDFT补零L点-DFT需要
3Llog2L次复数乘法。
十二．用倒序输入顺序输出的基2 DIT-FFT 算法分析一长度为N点的复序列x[n] 的DFT，回答下列问题：
(1) 说明N所需满足的条件，并说明如果N不满足的话，如何处理？
(2) 如果N=8, 那么在蝶形流图中，共有几级蝶形？每级有几个蝶形？确定第2
r
级中蝶形的蝶距(dm)和第2级中不同的权系数(WN)。 (3) 如果有两个长度为N点的实序列y1[n]和y2 [n]，能否只用一次N点的上述FFT运算来计算出y1[n]和y2 [n]的DFT，如果可以的话，写出实现的原理及步骤，并计算实现时所需的复数乘法次数；如果不行，说明理由。
解(1)N应为2的幂，即N＝2m，（m为整数）；如果N不满足条件，可以补零。 (2)3级，4个，蝶距为2，WN0 ，WN2 (3) y[n]=y1[n]+jy2[n]
十三．考虑下面4个8点序列，其中 0≤n≤7，判断哪些序列的8点DFT是实数，那些序列的8点DFT是虚数，说明理由。 (1) x1[n]={-1, -1, -1, 0, 0, 0, -1, -1}, (2) x2[n]={-1, -1, 0, 0, 0, 0, 1, 1}, (3) x3[n]={0, -1, -1, 0, 0, 0, 1, 1}, (4) x4[n]={0, -1, -1, 0, 0, 0, -1, -1}, 解：
*xo(n)??xo(N?n)??Xo(N?n)DFT[xe（n）]=Re[X（k）]
DFT[x0（n）]=jIm[X（k）]
x4[n]的DFT是实数 , 因为它们具有周期性共轭对称性；x3[n] 的DFT是虚数 , 因为它具有周期性共轭反对称性 十四. 已知系统函数H(z)?解：
十五.已知Y(z)(1?3z?1?1z?2)?X(z)(1?z?1)，画系统结构图。
482?0.25z?11?0.25z?1?0.3z?2，求其差分方程。
解：
直接型I： 直接型II： 级联型： 并联型：
1.设下列系统x(n)是输入, y(n)是输出.为非时变系统的是（ B ）.
数字信号处理试题和答案
