2024-2024学年数学选修2-2（十四）
综合法和分析法
一、题组对点训练 对点练一 综合法的应用
1．在△ABC中，若sin Asin B＜cos Acos B，则△ABC一定是( ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
解析：选C 由sin Asin B＜cos Acos B得cos Acos B－sin Asin B＞0，即cos(A＋B)＞0，－cos C＞0，cos C＜0，从而角C必为钝角，△ABC一定为钝角三角形．
2．设a>0，b>0且ab－(a＋b)≥1，则( ) A．a＋b≥2(C．a＋b≤(
2＋1) B．a＋b≤
2＋1 2＋1)
2＋1)2 D．a＋b>2(
?a＋b?
??解析：选A 由条件知a＋b≤ab－1≤??2－1， 2??t2
令a＋b＝t，则t>0，且t ≤－1，解得t≥2＋2
43．已知{an}是由正数组成的数列，a1＝1，且点??数y＝x2＋1的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求证：bn·bn＋2 2. an，an＋1??(n∈N*)在函 所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列． 故an＝1＋(n－1)×1＝n. (2)证明：由(1)知，an＝n，从而bn＋1－bn＝2n. bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2n－1＋2n－21－2n ＋…＋2＋1＝＝2n－1. 1－2 因为bn·bn＋2－b2n＋1＝(2n－1)(2n＋2－1)－(2n＋1－1)2 ＝(22n＋2－2n＋2－2n＋1)－(22n＋2－2·2n＋1＋1)＝－2n<0， 所以bn·bn＋2 3 3 4. a－b A．ab(b－a)>0 B．ab>0且a>b C．ab<0且a 3 3 D．ab(b－a)<0 3 解析：选D 3 3 a－3 b ?( a－b)3<(3 a－b)3， 3 ?a－b－3 3 a2b＋33 ab2 ? ab2< a2b， ?ab2 a2＋b2a2＋b2 5．将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只 22需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立． a2＋b2a2＋b2 解析：用分析法证明≥ab的步骤为：要证≥ab成立，只需证 22a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0. 由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立． 答案：a2＋b2－2ab≥0 (a－b)2≥0 (a－b)2≥0 6．已知a≥－，b≥－，a＋b＝1，求证：22证明：要证2 2a＋1·2a＋1＋ 2b＋1≤2 1 1 2a＋1＋ 2b＋1≤2 2. 2，只需证2(a＋b)＋2＋ 2b＋1≤8. 2a＋1·2b＋1≤2. 因为a＋b＝1，即证1 1 因为a≥－，b≥－，所以2a＋1≥0,2b＋1≥0， 22所以即 2a＋1·2a＋1· ?2a＋1?＋?2b＋1?2?a＋b＋1? 2b＋1≤＝＝2. 222b＋1≤2成立，因此原不等式成立． 对点练三 综合法与分析法的综合应用 7．设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2. 证明：法一：要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立， 只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立． 又因为a＋b＞0，所以只需证a2－ab＋b2＞ab成立． 即需证a2－2ab＋b2＞0成立， 即需证(a－b)2＞0成立． 而依题设a≠b，则(a－b)2＞0显然成立． 由此命题得证． 法二：a≠b?a－b≠0?(a－b)2＞0?a2－2ab＋b2＞0?a2－ab＋b2＞ab. 因为a＞0，b＞0，所以a＋b＞0，(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)． 所以a3＋b3＞a2b＋ab2. 8．在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，则能使x，a，y成等差数列，若插入两个数b，c，则能使x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)． 2a＝x＋y，?? 证明：由已知条件得?b2＝cx， ??c2＝by， b2c c2b 消去x，y得2a＝＋，且a>0，b>0，c>0. 要证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)， 只需证a＋1≥?b＋1??c＋1?， b＋1＋c＋1 只需证a＋1≥，即证2a≥b＋c. 2由于2a＝ b2c＋c2b ，只需证 b2c＋c2b ≥b＋c， 只需证b3＋c3＝(b＋c)(b2＋c2－bc)≥(b＋c)bc， 即证b2＋c2－bc≥bc，即证(b－c)2≥0. 因为上式显然成立，所以(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)． 二、综合过关训练 1．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和?如下： 那么，d?(a⊕c)等于( ) A．a B．b C．c D．d 解析：选A 由所给定义知a⊕c＝c，d?c＝a， 所以d?(a⊕c)＝d?c＝a. 2．设a，b，c，d∈R＋，若a＋d＝b＋c且|a－d|<|b－c|，则有( ) A．ad＝bc B．ad 解析：选C |a－d|<|b－c|?(a－d)2<(b－c)2?a2＋d2－2ad 3．设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)＞1，f(2)＝则a的取值范围是( ) A．a＜ B．a＜，且a≠－1 44C．a＞或a＜－1 D．－1＜a＜ 44 3 3 3 3 3a－4a＋1 ，
2024-2024学年人教A版高中数学选修2-2培优阶段质量检测 综合法和分析法
