学习必备 欢迎下载
§7.3 基本不等式及其应用
1.基本不等式ab≤
a＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R). ba
(2)＋≥2(a，b同号). ab(3)ab≤?
a＋b?2
?2? (a，b∈R).
a2＋b2?a＋b?2(4)≥2?2? (a，b∈R). 3.算术平均数与几何平均数
a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两
2个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小) p2
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
4
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 1
(1)函数y＝x＋的最小值是2.
x
( × ) ( × )
a＋b2
(2)ab≤()成立的条件是ab>0.
2
学习必备 欢迎下载
4π
(3)函数f(x)＝cos x＋，x∈(0，)的最小值等于4.
cos x2xy
(4)x>0且y>0是＋≥2的充要条件.
yx1
(5)若a>0，则a3＋2的最小值为2a.
a(6)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R).
( × ) ( × ) ( × ) ( √ ) ( )
1
2.当x>1时，关于函数f(x)＝x＋，下列叙述正确的是
x－1A.函数f(x)有最小值2 C.函数f(x)有最小值3 答案 C
3.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是 A.a2＋b2>2ab 112C.＋> abab答案 D
解析 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误. 对于B、C，当a<0，b<0时，明显错误. ba
对于D，∵ab>0，∴＋≥2
ab
ba·＝2. ab
B.a＋b≥2ab baD.＋≥2 ab
B.函数f(x)有最大值2 D.函数f(x)有最大值3
( )
11
4.设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝23，则＋的最大值为
xyA.2
3B. 2
C.1
1D. 2
( )
答案 C
11
解析 由ax＝by＝3，得：x＝loga3，y＝logb3，由a>1，b>1知x>0，y>0，＋＝log3a＋log3b
xy＝log3ab≤log3?
?a＋b?211
?＝1，当且仅当a＝b＝3时“＝”成立，则x＋y的最大值为1. ?2?1|a|
＋取得最小值. 2|a|b
5.(2013·天津)设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，答案 －2
解析 由于a＋b＝2，所以|a|
≥2 b
1|a|a＋b|a|ab|a|b＋＝＋＝＋＋，由于b>0，|a|>0，所以＋2|a|b4|a|b4|a|4|a|b4|a|
b|a|1|a|151|a|
·＝1，因此当a>0时，＋的最小值是＋1＝；当a<0时，＋的 最4|a|b2|a|b442|a|b
学习必备 欢迎下载
b|a|?＝，?131|a|34|a|b
小值是－＋1＝.故＋的最小值为，此时?即a＝－2.
442|a|b4
??a<0，
题型一 利用基本不等式求最值
11
例1 (1)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则＋的最小值为________；
xy2x
(2)当x>0时，则f(x)＝2的最大值为________.
x＋1
11
思维启迪 利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第(1)问把＋中的
xy“1”代换为“2x＋y”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式. 答案 (1)3＋22 (2)1
解析 (1)∵x>0，y>0，且2x＋y＝1， 112x＋y2x＋y∴＋＝＋ xyxy
y2xy2x
＝3＋＋≥3＋22.当且仅当＝时，取等号.
xyxy(2)∵x>0，∴f(x)＝
22
＝≤＝1， 212x＋1x＋
x2x
1
当且仅当x＝，即x＝1时取等号.
x
思维升华 (1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.
(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式.
xy
(1)已知正实数x，y满足xy＝1，则(＋y)·(＋x)的最小值为________.
yx
xy＋
(2)已知x，y∈R，且满足＋＝1，则xy的最大值为________.
34答案 (1)4 (2)3
学习必备 欢迎下载
xyy2x2
解析 (1)依题意知，(＋y)(＋x)＝1＋＋＋1≥2＋2
yxxyxy
时取等号，故(＋y)·(＋x)的最小值为4.
yxxy
(2)∵x>0，y>0且1＝＋≥234
y2x2×＝4，当且仅当x＝y＝1xy
xyxy
，∴xy≤3.当且仅当＝时取等号. 1234
题型二 不等式与函数的综合问题
例2 (1)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( ) A.(－∞，－1) C.(－1,22－1)
B.(－∞，22－1) D.(－22－1,22－1)
x2＋ax＋11
(2)已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围
x＋1是________.
思维启迪 对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围. 8
答案 (1)B (2)[－，＋∞)
3
解析 (1)由f(x)>0得32x－(k＋1)·3x＋2>0，
222解得k＋1<3x＋x，而3x＋x≥22(当且仅当3x＝x，
333即x＝log32时，等号成立)， ∴k＋1<22，即k<22－1.
x2＋ax＋118
(2)对任意x∈N，f(x)≥3恒成立，即≥3恒成立，即知a≥－(x＋)＋3.
xx＋1
*
817
设g(x)＝x＋，x∈N*，则g(2)＝6，g(3)＝. x3∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝
1788
.∴－(x＋)＋3≤－， 3x3
88
∴a≥－，故a的取值范围是[－，＋∞).
33思维升华 (1)a>f(x)恒成立?a>(f(x))max， a (2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性. 1 若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0，)成立，则a的最小值是 2 ( ) 学习必备 欢迎下载 A.0 B.－2 5C.－ 2 D.－3 答案 C 解析 方法一 设f(x)＝x2＋ax＋1， a 则对称轴为x＝－. 2a1 当－≥，即a≤－1时， 22 115 f(x)在(0，)上是减函数，应有f()≥0?a≥－， 2225 ∴－≤a≤－1. 2 a1 当－≤0，即a≥0时，f(x)在(0，)上是增函数， 22应有f(0)＝1>0恒成立，故a≥0. a1 当0<－<，即－1 22 aa2a2a2 应有f(－)＝－＋1＝1－≥0恒成立， 2424故－1 5 综上，a≥－，故选C. 2 11 方法二 当x∈(0，)时，不等式x2＋ax＋1≥0恒成立转化为a≥－(x＋)恒成立. 2x11 又φ(x)＝x＋在(0，)上是减函数， x215 ∴φ(x)min＝φ()＝， 2215 ∴[－(x＋)]max＝－， x25 ∴a≥－. 2 题型三 基本不等式的实际应用 例3 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
高三一轮专题复习基本不等式及其应用(有详细答案)
