21、（12分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （1）求在1次游戏中，
①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率；
（2）求在4次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)。
22、(12分)已知函数f(x)?bx?axlnx(a?0)的图象在点?1,f(1)?处的切线与直线
y?(1?a)x平行．
（1）若函数y?f(x)在[e，2e]上是减函数，求实数a的最小值；
（2）设g(x)?
6
f(x)1，若存在x1∈[e，e2]，使g(x1)?成立，求实数a的取值范围． lnx4
辽宁师大附中2019—2020学年度下学期期末考试
高二数学答案
1.D 2.A 3.C 4.A 5.B 6.B 7.D 8.C 9.ABD 10.ABC 11.AD 12.BC 13、0.1587 14、
11??15、22 16、?x|x??
2?4 ?4Cn?245617、（1）22?解得n?10-----------------------------------------------------------------2’
3Cn?2Tr?1?Cr10?x?10?r?2?rr?2??C10?2?x?x?r10?r?2r2
由
10?r?2r?0得r?2----------------------------------------------------------------------------4’ 2常数项为第三项，T3?180---------------------------------------------------------------------------5’
rr（2）设第r?1项系数最大，即C10?2最大
rrr?1r?1?1922?C10?2?C10?2?r? 即?r得 rr?1r?133 ??C10?2?C10?2 又?r?N,?r?7---------------------------------------------------------------------------------8’ 系数最大的项为第8项，T8?15360x?252------------------------------------------------------10’
18、（1）根据题意，由微信支付人数的频率分布直方图可得：
P?A???0.012?0.014?0.024?0.034?0.040??5?0.62-----------------------------------3'
（2）根据题意，补全列联表可得：
微信支付 支付宝支付 总计
支付人数＜50千人 62 34 96 7 支付人数≥50千人 38 66 104 总计 100 100 200 ------------7'
200??62?66?38?34?则有K??15.705?6.635， ---------------------------------------11'
100?100?96?10422故有99%的把握认为支付人数与支付方式有关． ------------------------------------------------12'
?2x?b19、解：因为定义域为R的函数f(x)?x?1是奇函数f(x)??f(?x)
2?a解得a?2,b?1或
因为x?R所以a?2,b?1-------------------------------------------------------------------------------4' （2）证明f(x)为减函数（方法：导数法或定义法）---------------------------------------------8' f(t?2t)?f(2t?k)?0，等价于t?2t?k?2t 即3t?2t?k 恒成立 设
，可得
22222 所以k??--------------------------------------------------------------------------------------------12'
13?f?(1)?0a(x2?b)20、（1）f?(x)??2， 由已知 解得a?4,b?1 ---------------4' ?(x?b)2?f(1)?24(x2?1) （2）f?(x)??2 令f?(x)?0解得?1?x?1
(x?1)2?m?2m?1? 由已知?m??1?2m?1?1?即?1?m?0---------------------------------------------------8'
2484(x0?1)??（3）k?f?(x0)??= 222x0?1(x0?1)2(x0?1)2 令t?412??t?0,4，则，且k?t?t 22x0?18
k的取值范围是???1?,4?-------------------------------------------------------------------12' 2??
21、(1)设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i?0,1,2,3),1C32C21 ①P(A3)?2·2?.-----------------------------------------------------------------------2'
C5C35 ②设“在1次游戏中获奖”为事件B，则BA2A3，
1121C32C2C3C2C21 又P(A2)?2·2?2·2?,且A2，A3互斥，
C5C3C5C32 所以P(B)P(A2)P(A3)117.----------------------------------------------6'
2510（II）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，所以X的分布列是
X P 0 1 2 3 4 -----------------9'
，所以X的数学期望E(X)=
-----------------12'
22、∵f′(x)＝b－a－aln x，∴f′(1)＝b－a，∴b－a＝1－a，∴b＝1．则f(x)＝x－axln x． （1）∵y＝f(x)在[e，2e]上为减函数，∴f′(x)＝1－a－aln x≤0在[e，2e]上恒成立，
1
即a≥在[e，2e]上恒成立．
ln x＋1
11
∵函数h(x)＝在[e，2e]上递减，∴h(x)max?h(e)?
ln x＋12∴amin?1 --------------------------------------------------------------------------------------------5' 2x?axlnxx??ax
lnxlnx1x1成立，即?ax?成立 4lnx49
（2）解法一：g(x)?2存在x?[e,e]，使g(x)?
因为x?0，所以等价于存在x?[e,e]，使a?设h(x)?211成立 ?lnx4x11，满足a?h(x)min即可------------------------------------------------------7' ?lnx4xln2x?4x h'(x)?(2xlnx)2?e?x?e2
?1?lnx?2，1?ln2x?4；?4e2??4x??4e??4
?ln2x?4x?0
?h'(x)?0，h(x)在[e,e2]单调递减
?h(x)min?h(e2)??a?11?2 24e
解法二（视解答情况参照给分）
x
＝－ax， ln x
11?2----------------------------------------------------------------------------------------12' 24e∵g(x)＝∴g′(x)＝
ln x－11?21?1－1?2＋1－a， －a＝－?＋－a＝－2?ln x?ln x?ln x2?4ln x
111
故当＝，即x＝e2时，g′(x)max＝－a．
ln x241
若存在x1∈[e，e2]，使g(x1)≤成立，
41
等价于当x∈[e，e2]时，有g(x)min≤．
41
当a≥时，g(x)在[e，e2]上为减函数，
4∴g(x)min＝g(e2)＝
e2111－ae2≤，故a≥－2． 2424e
11?211
－＋－a在[e，e2]上为增函数， 当0 －a，－a?． 故g′(x)的值域为?4??由g′(x)的单调性和值域知， 存在唯一x0∈(e，e2)，使g′(x)＝0，且满足： 10
辽宁师大附中2019-2020学年高二下学期期末考试 数学 Word版含答案
