2024全国各地中考数学压轴大题几何综合
八、规律探索综合题
1.（2024?十堰）如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上． （1）填空：∠CDE＝
（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若α＝60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若α＝90°，AC＝5
，且点G满足∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到AG的距离．
解：（1）∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE ∴△ACD≌△BCE，∠DCE＝α ∴CD＝CE ∴∠CDE＝
故答案为：
（2）AE＝BE+CF
理由如下：如图，
∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角60°得到△CBE ∴△ACD≌△BCE
∴AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60° ∴△CDE是等边三角形，且CF⊥DE ∴DF＝EF＝
∵AE＝AD+DF+EF ∴AE＝BE+
CF
（3）如图，当点G在AB上方时，过点C作CE⊥AG于点E，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5
，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，AB＝10 ∵∠ACB＝90°＝∠AGB
∴点C，点G，点B，点A四点共圆 ∴∠AGC＝∠ABC＝45°，且CE⊥AG ∴∠AGC＝∠ECG＝45°
∴CE＝GE
∵AB＝10，GB＝6，∠AGB＝90° ∴AG＝
＝8
∵AC2＝AE2+CE2， ∴（5
）2＝（8﹣CE）2+CE2，
∴CE＝7（不合题意舍去），CE＝1 若点G在AB的下方，过点C作CF⊥AG， 同理可得：CF＝7
∴点C到AG的距离为1或7．
2.（2024?宜昌）已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆O．
（1）填空：点A 在 （填“在”或“不在”）⊙O上；当＝时，tan∠AEF的值是；
（2）如图1，在△EFH中，当FE＝FH时，求证：AD＝AE+DH； （3）如图2，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，求证：EH＝AE+DH；
（4）如图3，点M在线段FH的延长线上，若FM＝FE，连接EM交DC于点N，连接FN，当AE＝AD时，FN＝4，HN＝3，求tan∠AEF的值．
解：（1）连接AO，
∵∠EAF＝90°，O为EF中点， ∴AO＝EF，
∴点A在⊙O上，
当＝时，∠AEF＝45°，
∴tan∠AEF＝tan45°＝1， 故答案为：在，1； （2）∵EF⊥FH， ∴∠EFH＝90°，
在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°， ∴∠AEF+∠AFE＝90°， ∠AFE+∠DFH＝90°， ∴∠AEF＝∠DFH， 又FE＝FH，
∴△AEF≌△DFH（AAS）， ∴AF＝DH，AE＝DF， ∴AD＝AF+DF＝AE+DH；
（3）延长EF交HD的延长线于点G，
∵F分别是边AD上的中点， ∴AF＝DF，
∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AFE＝∠DFG， ∴△AEF≌△DGF（ASA）， ∴AE＝DG，EF＝FG， ∵EF⊥FH， ∴EH＝GH，
∴GH＝DH+DG＝DH+AE， ∴EH＝AE+DH；
（4）过点M作MQ⊥AD于点Q．
设AF＝x，AE＝a， ∵FM＝FEEF⊥FH，
规律探索综合题(几何)-全国各地2024年中考数学压轴题几何大题题型分类汇编(解析版)
