专题14 运用函数的图像研零点问题
一，题型选讲
题型一： 运用函数图像判断函数零点个数
可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像.作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确.
例1，(2019苏州三市，苏北四市二调)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)上
?2?x,2?x?3则函数y?f(x)?logx的零点的个数为 f(x)??5x?4,3?x?4?【答案】 5
【解析】因为f(x＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出数f(x)在区间[2，4)上的图像，根据奇
函函数和周期为4，可以画出f(x)在R上的图像，由y＝f(x)－log5| x|＝0，得f(x)＝log5| x|，分别画出y＝f(x)和y＝log5|x|的图像，如下图，由f(5)＝f(1)＝1，而log55＝1，f(－3)＝f(1)＝1，log5|－3|<1，而f(－7)＝f(1)＝1，而log5|－7|＝log57>1，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为5.
解后反思 本题考查了函数的零点问题，以及函数的奇偶性和周期性，考查了转化与化归，数形结合的思想，函数的零数问题，常转化为函数的图像的交点个数来处理，其中能根据函数的性质作出函数的图像并能灵活地运用图像，找到临界点是解题的关键也是难点．
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??x＜1，
例2，(2017苏锡常镇调研)若函数f(x)＝?lnx
，x??x≥1，
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－1，2x
1
)则函数y＝|f(x)|－的零点个数为________．
8
【答案】 4
x－lnx·2x1－2lnxlnx
【解析】设g(x)＝2，则由g′(x)＝＝＝0，可得x＝e，所以g(x)在(1，e)上单调递增，在
xx4x311
(e，＋∞)上单调递减，当x→＋∞时，g(x)→0，故g(x)在(1，＋∞)上的最大值为g(e)＝＞.在同一平面直
2e81
角坐标系中画出y＝|f(x)|与y＝的图像可得，交点有4个，即原函数零点有4个．
8
易错警示 答案中出现了3和5这两种错误结果，3的主要原因是弄错了(1，＋∞)上的单调性或者忘了处理绝对值，5的主要原因是没有发现图像趋近于x轴．
题型二 运用函数图像研究复合函数零点个数
复合函数零点问题的特点：考虑关于x的方程g??f?x????0根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于f?x?的方程，观察有几个f?x?的值使得等式成立；第二层是结合着第一层f?x?的值求出每一个f?x?被几个x对应，将x的个数汇总后即为g??f?x????0的根的个数
1－|2x－3|，1≤x<2，??例3，(2017南通期末) 已知函数f(x)是定义在[1，＋∞)上的函数，且f(x)＝?1?1?
f?x?， x≥2，??2?2?则函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上的零点个数为________．
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【答案】11 【解析】
?2x－2，1≤x≤2，
解法1 由题意得当1≤x<2时，f(x)＝?3
4－2x， 1 f?2n－1x?， 3 设x∈[2n －1, x1 2n)(n∈N*)，则n－1∈[1,2)，又f(x)＝n－1 22 ?? 113x11 1，?时，则x∈[2n－1,3·2n－2]，所以f(x)＝n－1f?n－1x?＝n－1?2·n－1x－2?，所以2xf(x)－3＝①当n－1∈??2??2?2?22?22x· 1?1－－－－－?n－22 x－3·22n4＝0.解得x＝3·2n2或x＝－2n2.由于x∈[2n1,3·2nn－12·2n－1x－2－3＝0，整理得x－2·2?2? x＝3·2n2； － 2]，所以 1?3?x1?1?1?1n－2,nx4－2·，2时，－②当n－1∈?则x∈(3·22)，所以f(x)＝f＝所以2xf(x)－3＝2x·－－－n1n－1x，nnn112?2??2??22?221 x??4－2－n－222n－4＝0.解得x＝3·2n－2或x＝2n－2.由于x∈(3·2n－2,2n)，所以无解．x＋3·2 n1－3＝0，整理得x－4·2?2? 综上所述，x＝3·2n2.由x＝3·2n2∈(1,2 015)，得n≤11，所以函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11. 解法2 由题意得当x∈[2n －1, － － 2n)时，因为f(x)＝ 1?3n－1?13??x－·2·f，所以f(x)＝f＝.当－1.令g(x)＝maxn1n－1n?2?22x?2?21 3n－1?3－13n－1n－1,n ·2x＝·2n1时，g(x)＝g?＝2)时，x＝·2为y＝2xf(x)－3的一个零点． －1，所以当x∈[2n?2?222 下面证明：当x∈[2n当x∈[2n －1, － －1, 2n)时，y＝2xf(x)－3只有一个零点． － － －1, 3·2n2]时，y＝f(x)单调递增，y＝g(x)单调递减，f(3·2n2)＝g(3·2n2)，所以x∈[2n － －2, 3·2n2]时， － 有一零点x＝3·2n2；当x∈(3·2n x1113 2n)时，y＝f(x)＝n－1－n－1?2n－2－3?，k1＝f′(x)＝－2n－3，g(x)＝，k2＝ 2x?22?2 g′(x)＝－ 13?3?n－2n－2n－1,n－，－－∈)＝g(3·2)，所以当x∈[22)时，y＝2xf(x)n3n＋1，所以k1 － －3只有一个零点．由x＝3·2n2∈(1,2 015)，得n≤11，所以函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11. 3 / 14
专题14 运用函数的图像研零点问题(解析版)
