量子力学例题
第二章 一．求解一位定态薛定谔方程
1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数 [解] 薛定谔方程:
当 ,
故有
利用波函数在
处的连续条件
,
由 处连续条件:
由 处连续条件:
给定一个n 值,可解一个 ,
为分离能级.
2．粒子在一维 势井中的运动
求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数 [解]体系的定态薛定谔方程为
当
时
~
对束缚态 解为
在
处连续性要求
将 代入得
又
(
相应归一化波函数为:
归一化波函数为:
3 分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为
求束缚态的能级所满足的方程
】
[解] 束缚态下粒子能量的取值范围为
当 时
当 时
薛定谔方程为
令
解为
当 时
\\
令 解为
当 时
薛定谔方程为
令
薛定谔方程为
(
解为
由
波函数满足的连续性要求,有
-
要使 有非零解
不能同时为零
则其系数组成的行列式必须为零
计算行列式,得方程
例题
主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布. 一. 有关算符的运算 1.证明如下对易关系
%
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) [证]
(1)
(2)
~
(3)
一般地,若算符 是任一标量算符,有
(4)
一般地,若算符
(
是任一矢量算符,可证明有
(5)
=0
同理：
。
2. 证明哈密顿算符为厄密算符
[解]考虑一维情况
！
为厄密算符, 为厄密算符,
为实数
为厄密算符
为厄密算符
3已知轨道角动量的两个算符
*
和 共同的正交归一化本征函数完备集为
,
取: 试证明: 也是 和 共同本征函数, 对应本征值
分别为:
。
[证]
。
是 的对应本征值为
的本征函数
又:
是 的对应本征值为
的本征函数
`
可求出:
二.有关力学量平均值与几率分布方面
1. (1)证明
值；(2)求x在
态中的平均值
是 的一个本征函数并求出相应的本征
[解]
即
—
是 的本征函数。本征值
2. 设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数
描写。求粒子能量的可能值相应的概率及平均值
【解】
宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数
:
注意:是否归一化波函数
能量本征值
出现 的几率 , 出现 的几率
能量平均值
另一做法
。
3 .一维谐振子在 时的归一化波函数为
所描写的态中式中，式中 是谐振子的能量本征函数，求（1） 的数值；2）在
态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）
时能量的可能值相应的概率及平均值
时系统的波函数 ；（4）
[解](1) , 归一化，
，
，
（2） ，
， ； ，
；
，
；
（3）
|
时，
所以：
时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。 4． 设氢原子处于状态
求氢原子的能量,角动量平方以及角动量z分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
[解] 能量本征值
能量本征态
当n=2 时
?
本征值为的
，
出现的几率为100％
可能值为 出现的几率分别为：
。
5 . 在轨道角动量 和 共同的本征态
下,试求下列期望值
(1). ; (2)
.
[解]：
【
三 测不准关系
1. 粒子处于状态 不准关系 [解]先归一化
式中 为常数,求粒子的动量的平均值,并计算测
(1) 动量平均值
—
(2)
?
(3)
附: 常用积分式：
（1）
（2）
}
（3）
第四章 例题
1．力学量的矩阵表示
由坐标算符的归一化本征矢 及动量算符 构造成算符 和
试分别：1）. 求 和 在态 下的期望值；2）. 给出 和 的物理意义
【解】（1）. 设态矢 已归一化
（粒子位置几率密度）
（2）
>
（利用 化到坐标表象）
又：
,
上式
2.试证明：由任意一对以归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符
（1）. 是厄密算符，（2）. 有 【证】（1）. 厄密算符的定义
，（3）. 的本征值为0和1
)
为厄密算符
(2) 已归一化
（3）. 由
的本征值方程
,
又：
即：
（本题主要考查厄密算符概念，本征值方程，狄拉克符号的应用）
3.分别在坐标表象，动量表象，能量表象中写出一维无限深势井中（宽度
）基
态粒子的波函数。（本题主要考查波函数在具体表象中的表示） 【解】 所描述的状态，基态波函数
—
（1）. 在x表象：
（2）. 动量表象：
~
（3）. 能量表象
同样一个态在不同表象中的表示是不同的，不同的表象是从不同侧面来进行描述的.
4.取
和 的共同表象，在 角动量空间中写出
）
, , 的矩
阵（本题主要考查算符矩阵的求法
【解】
, 的共同本征函数为
$
空间
在
（1）. ,
同样
（2）
》
利用:
利用正交归一条件:
同样
（3）
《
利用:
矩阵:
矩阵:
5.已知体系的哈密顿量 , 试求出
所在的表象的正交归一化的本征矢组.
（1）. 体系能量本征值及相应的在
（2）.将 【解】
对角化，并给出对角化的么正变换矩阵
（1）. 久期方程 解之
,
设正交归一的本征矢
—
对应于
本征矢 归一化
对应归一本征矢
同样
:
:
即为
的本征函数集
（2）.
/
对角化后，对角元素即为能量本
转换矩阵为
6．
证明：将算符矩阵 对角化的转换矩阵的每一列对应于算符的一个本征函
数矢量。 【证】
算符的本征矢：
则 F算符在自身表象中为一对角矩阵：
对另一表象力学量的本征矢
《
的本征矢
7. 为厄密算符。 ① 求算符 的本征
值， ②在A 表象下求算符 的矩阵表示。
[解]：① 设 的本征值为 ,本征函数为 ,
则
又
同理算符 的本征值也为 .
② 在A表象，算符 的矩阵为一对角矩阵,对角元素为本征值，即
设
\
利用
B为厄密算符
即
又
取：
(
第五章 例题重点：微扰论
1．一根长为 ，无质量的绳子一段固定于支点，另一端系质量为的 能量的一级修正。
质点 ，在重力作用下，
质点在竖直平面内摆动。i) 在小角近似下，求系统能级；ii) 求由于小角近似的误差产生的基态
解：i ) 势能： 系统的哈密顿量
在小角近似下:
'
ii )若不考虑小角近似
又
利用公式
|
,
同样
2. 一维谐振子的哈密顿量为 ，假设它处于基态，若在加上一个弹力
作用 ，使用微扰论计算 对能量的一级修正，并与严格解比较。
解：i )
,
,
又
ii) 严格解
、
发生了变化
3．已知体系的能量算符为
算符。（1）求体系能级的精确值。（2）视 [解]：i) 精确解
, 其中 , 为轨道的角动量
项为微扰项，求能级至二级近似值。
令 ， 并在 平面上取方向
：
与z轴的夹角为 ， 则
】
与
相互对易，它们的本征值分别为
体系能级为
ii)微扰法
，
的精确解为 本征函数
本征能量
按微扰论 利用了公式
能量二级修正为
在二级近似下
】
4．三维谐振子，能量算符为 ，试写出能级和能量本征函
数。如这振子又受到微扰 并和精确值比较。 [解]：
， 的作用，求最低的两个能级的微扰修正。
（1设 的能量本征函数为
代入方程
-
(2).基态的微绕修正
对基态 波函数
基态能级的零级
, 无简并
能量的二级修正:
'
唯一不等于零的矩阵元为
(3).第一激发态
三度简并
计算
不为零的矩阵元为
…
久期方程
可求出能量的一级修正 (4).精确解
令
、
基态
第一激发态
5．设粒子的势能函数 是坐标的n次齐次函数， 即
试用变分法证明， 在束缚态下，动能T及势能V的平均值满足
下列关系
（维里定理）
[证] 设粒子所用的态用归一化波函数
描写 则
》
取试态波函数为
由归一化条件
…
当
时，试态波函数即是粒子所处的束缚态波函数。
:
应在 时， 取极值
6. 氢原子处于基态，加上交变电场 算氢原子每秒离几率。
, 电离能,用微扰论一级近似计
[解]：解这一类问题要搞清楚三个要素，初态末态是什么微扰矩阵元
初态：氢原子基态
末态: 自由状态
为能量为
, 在单位立体角的末态密度。
微扰
）
7． 转动惯量为 I, 电偶极矩为 D的平面转子，置于均匀场强E（沿x方向）中，总能量算符成
为
量近似值。
…
, 为旋转角(从x轴算起）如果电场很强， 很小，求基态能
[解]：方法一
与一位谐振子的能量本征方程
比较
有
方法二 用变分法，取归一化的试探波函数
[
所得结果与方法二一致。
8．设在 表象中，
的矩阵表示为
其中
, 试用微扰论求能级二级修正
[解]：在
表象中，
}
第六章例题
1.有关泡利矩阵的一些关系的证明（注意应用一些已知结论）
1).
;
; (2). ;
(3). (4).设 【证】
则
;
，
.
（1）.
(2).
(3).
>
(4).
2．证明： 【证】
}
并利用此结论求 本征值
的本征函数为
设 则
又
<
,
常数，证明
展开成
的幂级数，有
,
3．设为 【证】 将
，
为偶数
；
为奇数
上式
（方位角为
）的投影的本征值及本征矢（在
表
4．求自旋角动量在任意方向 象），
)
表象中
【解】 在
，
表象中的矩阵表示为
，
在
设 的本征值为 ，相应本征矢为 ，本征方程为
＝
解久期方程
，
#
将 代入本征方程
由归一化条件
对应的本征矢为
同样： 对应的本征矢为
通过本题讨论我们发现， 的本征值为 ，自旋算符 在任意方向上的分量 的本征值也
是 征值为
。
。也进一步推广，对任一种角动量算符
则
，如有 的本征值为 ， 的本
在任意方向上的分量 的本征值的可能值也为
5．有一个定域电子（不考虑轨道运动）受均匀磁场作用，磁场指向正
方向，磁作用势为
，设
时电子的自旋向上，即 求 :
[解] 设自旋函数 在表象中
体系的哈密顿算符可表示为 则自旋态所满足的薛定谔方程为
同理
（
又 ， 自旋
时 的平均值。
再由 即
&
6．在自旋态 中，求
【解】
同理
7．已知电子的态函数为 其中
已归一化 ，
￥
求（1）.同时测量
为
，
为
的几率。
（2）.电子自旋向上的几率。
（3）. 和 平均值。
[解]首先验证态函数是否归一化 [erfwfff1]
① 同时测量 为 , 为 的几率
② 电子自旋向上的几率：
③
8．考虑由两个相同粒子组成得体系。设可能的单粒子态为 ，试求体系的可能态数目。分三种情况讨论（1）。粒子为玻色子;（2）粒子为费米子;（3）粒子为经典粒子. [解]
①玻色子构成的系统，系统态函数必须是对称的
共三种
对称的波函数为
a. 如两个粒子处于同一单粒子态: b.如两个粒子处于不同一单粒子态
共三种,因而，对玻色子可能态数为六种，
①费米子构成的系统，系统态函数必须是反对称的
全同费米子不能处于同一态上（泡利原理）.反对称波函数的形式只能是
共三种.
②对经典粒子，全同粒子是可区分的，粒子体系波函数没有对称性要求，波函数形式只要求
都可以）
的有三种，
的有六种的共九种。
9．试写出自旋 的两个自由电子所构成的全同体系的状态波函数。
[解] 自旋
的两电子构成的是费米子体系 ， 体系状态的波函数是反对称的
每个电子处于自由状态，单电子的状态波函数为平面波
它们所构成的对称波函数形式为
它们所构成的反对称波函数形式为
二电子体系的自旋部分的对称或反对称波函数为：
总的波函数：
10．证明：
组成正交归一系。
[证]①
②
③
11．两个自旋为 的粒子有磁相互作用，设它们的质量很大，动能可以忽略，
求此系统的所有能量本征值和本征函数。
[解]
对两个自旋为 对
的系统，总自旋量子数 的本征函数为
本征值为
能量本征值 对
的本征函数
量子力学典型例题分析解答
