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六、（15分）温度开关用厚度均为0.20 mm的钢片和青铜片作感温元件；在温度为20?C时，将它们紧贴，两端焊接在一起，成为等长的平直双金属片. 若钢和青铜的线膨胀系数分别为1.0?10/度和
?52.0?10?5/度. 当温度升高到120?C时，双金属片将自动弯成圆弧
形，如图所示. 试求双金属片弯曲的曲率半径. (忽略加热时金属片厚度的变化. )
参考解答：
设弯成的圆弧半径为r，金属片原长为l，圆弧所对的圆心角为?，钢和青铜的线膨胀系数分别为
?1和?2，钢片和青铜片温度由T1?20?C升高到T2?120?C时的伸长量分别为?l1和?l2. 对于钢
片
(r?d)??l??l1 (1) 2 ?l1?l?1(T2?T1) (2) 式中，d?0.20 mm. 对于青铜片
(r?d)??l??l2 (3) 2 ?l2?l?2(T2?T1) (4) 联立以上各式得 r?
评分标准：本题15分. (1)式3分， (2) 式3分，(3) 式3分，(4) 式3分， (5) 式3分.
备注: 据说，这道题目，是浙江大学出版社《培优教程》上的原题，热学一般考气体方程、卡诺循环，今年考固体的热膨胀，有些偏。
2?(?1??2)(T2?T1)d?2.0?102 mm (5)
2(?2??1)(T2?T1) 12
七、（20分）一斜劈形透明介质劈尖，尖角为?，高为h. 今以尖角顶点为坐标原点，建立坐标系如图(a)所示；劈尖斜面实际上是由一系列微小台阶组成的，在图(a)中看来，每一个小台阶的前侧面与xz平面平行，上表面与yz平面平行. 劈尖介质的折射率n随x而变化，n(x)?1?bx，其中常数
b?0. 一束波长为?的单色平行光沿x轴正方向照射劈尖；劈尖后放置一薄凸透镜，在劈尖与薄凸
透镜之间放一档板，在档板上刻有一系列与z方向平行、沿y方向排列的透光狭缝，如图(b)所示. 入射光的波面（即与平行入射光线垂直的平面）、劈尖底面、档板平面都与x轴垂直，透镜主光轴为x轴. 要求通过各狭缝的透射光彼此在透镜焦点处得到加强而形成亮纹. 已知第一条狭缝位于
y=0处；物和像之间各光线的光程相等.
1. 求其余各狭缝的y坐标；
2. 试说明各狭缝彼此等距排列能否仍然满足上述要求.
yh?xyh?x?zOO
图(a) 图(b) 参考解答：
1. 考虑射到劈尖上某y值处的光线，计算该光线由x?0到x?h之间的光程??y?. 将该光线在介质中的光程记为?1，在空气中的光程记为?2. 介质的折射率是不均匀的，光入射到介质表面时，在
x?0 处，该处介质的折射率n?0??1；射到x处时，该处介质的折射率n?x??1?bx. 因折射率随x线性增加，光线从x?0处射到x?h1（h1是劈尖上y值处光线在劈尖中传播的距离）处的光程?1与光通过折射率等于平均折射率
111 n??n0?nh?1?1?bh?1?bh1 (1) ???????1?12?22的均匀介质的光程相同，即
1 ?1?nh1?h1?bh12 (2)
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忽略透过劈尖斜面相邻小台阶连接处的光线（事实上，可通过选择台阶的尺度和档板上狭缝的位置来避开这些光线的影响），光线透过劈尖后其传播方向保持不变，因而有
?2?h?h1 (3) 1于是 ??y???1??2?h?bh12. (4)
2由几何关系有 h1?ytan?. (5) 故 ??y??h?b22ytan?. (6) 2从介质出来的光经过狭缝后仍平行于x轴，狭缝的y值应与对应介质的y值相同，这些平行光线会聚在透镜焦点处.
对于y?0处，由上式得 d(0)=h. (7)
y处与y?0处的光线的光程差为 ??y????0??b22ytan?. (8) 2由于物像之间各光线的光程相等，故平行光线之间的光程差在通过透镜前和会聚在透镜焦点处时保持不变；因而(8)式在透镜焦点处也成立. 为使光线经透镜会聚后在焦点处彼此加强，要求两束光的光程差为波长的整数倍，即 由此得
y?2k?cot??Ak,bA?2?cot?. (10) b
b2ytan2??k?,k?1,2,3,?. (9) 2除了位于y=0处的狭缝外，其余各狭缝对应的y坐标依次为
A,2A,3A,4A,?. (11)
2. 各束光在焦点处彼此加强，并不要求(11)中各项都存在. 将各狭缝彼此等距排列仍可能满足上述要求. 事实上，若依次取k?m,4m,9m,?，其中m为任意正整数，则
ym?mA,y4m?2mA,y9m?3mA,?. (12)
这些狭缝显然彼此等间距，且相邻狭缝的间距均为mA，光线在焦点处依然相互加强而形成亮纹. 评分标准：本题20分.
第1问16分， (1) 式2分， (2) 式2分， (3) 式1分，(4) 式1分，(5) 式2分， (6) 式1分，(7) 式1分，(8) 式1分， (9) 式2分， (10) 式1分，(11) 式2分； 第2问4分，(12) 式4分（只要给出任意一种正确的答案，就给这4分）.
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八、（20分）光子被电子散射时，如果初态电子具有足够的动能，以至于在散射过程中有能量从电子转移到光子，则该散射被称为逆康普顿散射. 当低能光子与高能电子发生对头碰撞时，就会出现逆康普顿散射. 已知电子静止质量为me，真空中的光速为 c. 若能量为Ee的电子与能量为E?的光子相向对碰，
1. 求散射后光子的能量；
2. 求逆康普顿散射能够发生的条件；
′109 eV，求散射后光子的能量. 已知3. 如果入射光子能量为2.00 eV，电子能量为 1.001me=0.511′106 eV/c2. 计算中有必要时可利用近似：如果x??1，有1-x?1-x. 2
参考解答：
1. 设碰撞前电子、光子的动量分别为pe（pe?0）、p?（p??0），碰撞后电子、光子的能量、
?,pe?,E??,p??. 由能量守恒有 动量分别为Ee由动量守恒有 光子的能量和动量满足 由(1)、(2)、(3)、(4)式解得 E???Ee+Eg=Ee￠+Eg￠.
pe+pg=pe￠+pg￠.
(1) (2) (3)
Eg=pgc,Eg￠=pg￠c.
2222424?2?pe?2c2?mec (4) 电子的能量和动量满足 Ee?pec?mec，Ee24E?Ee?Ee2?mec?E?e?E?mc2e24e??2Ee? (5)
?2. 由(5)式可见，为使Eg￠>Eg, 需有
E???E??即
注意已设pe>0、pg<0. 3. 由于Ee??mec, 因此有 将(7)式代入(5)式得 代入数据，得
评分标准：本题20分.
第1问10分， (1) 式2分， (2) 式2分， (3) 式2分，(4) 式2分，(5) 式2分； 第2问5分，(6) 式5分；
第3问5分，(7) 式2分， (8) 式1分， (9) 式2分.
光子 ：全名光量子（light quantum），电磁辐射的量子，传递电磁相互作用的规范粒子，记为γ。其静止质量为零，不带电荷，其能量为普朗克常量和电磁辐射频率的乘积，E=hv，动量p=h/λ。
2?E?242E?(Ee2?mec?E?)E?mc2e24e??2E?0
?24Ee2?mec?E? 或 pe?p?
(6)
24mecE?mc?Ee?.
2Ee2EeEg. Eg￠?242Eg+mec2Ee2e24e(7) (8) (9)
Eg￠?29.7′106eV.
2013年第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题解答与评分标准
