第三章 常用数学模型及建模方法
本章介绍几类常见的数学模型：轮廓模型、拟合模型、机理模型、层次分析模型、优化模型和系统仿真模型。通过介绍引入数学建模的基本思想和方法，使得我们在面对实际问题时有欲望、有信心、有能力运用自己学过的数学去尝试地解决问题。本章用到的数学知识都比较粗浅，目的是降低初学数学应用的难度，一方面使我们马上看到数学是如何被应用于如此广泛的自然科学和社会科学领域，另一方面将激发我们学习数学研究数学的意识。 3.1 量纲分析与轮廓模型
在生活中，人们常常需要对自己未知的、不熟悉的事务做判断，根据已有经验做估计。例如，人的身高增加5%，做衣服的用料将增加多少？商品由大包装变为小包装，成本将增加多少？等等诸如此类的问题。在回答这些问题时，人们都有意或无意地使用了轮廓模型。本节从物理学中量纲分析开始接触轮廓模型。 一. 量与量纲 1. 量及其度量 0
1. 模型所涉及的主要是量不是数 0
2. 量（物理量）可以分为：
基本量：基础的，独立的量: 长度、质量、时间、…
导出量：由基本量通过自然规律导出的量: 速度、加速度、力、… 0
3. 量的度量体系 — 单位制：基本量及其度量单位 国际单位（SI）制 基 本 量
名称 单位 符号
长度 L 米 m 质量 M 千克 kg 时间 T 秒 s 电流强度 I 安培 A 温度 ? 开尔文 K 光强 J 坎德拉 cd
物质的量 N 摩尔 mol 导 出 量
名称 单 位 符 号
-22-2
力 牛 顿 N（kgms） 能量 焦 耳 J（kgms）
2-3-1
功率 瓦 特 W（kgms） 频率 赫 兹 Hz（s）
-1-2
压强 帕斯卡 Pa（kgms） 2. 量纲： 0
1. 量纲：一个物理量Q一般都可以表示为基本量乘幂之积。称这个乘幂之积的表达式
[Q]=L? M?T? I??? J ? N?
为该物理量对选定的这组基本量的量纲积或量纲表达式。? ? ? ? ? ? ? 称为量纲指数。
23-1
例. [长度]=L、[质量]=M、[时间]=T、[面积]=L [体积]=L、 [速度]=LT,
-2-2,2-2
[加速度]=LT、[力]=MLT [能量]=MLT.
注 1. 物理量的量纲只依赖于基本量的选择，独立于单位的确定。
2. 对于某个物理量Q, 如果 [Q]=L? M?T? I??? J ? N?，有?=?=?=?=?=?=?=0，
则称之为无量纲量，记为[Q]=1 。它将不依赖于选定的基本量。
3. 无量纲量不一定是无单位的量。 0
2. 量纲齐次法则
一个物理规律的数学表达式中每一个加项的量纲必须是一致的，或者都是无量纲量。
-2-2
例如, 牛顿第二定律 F=ma, [F]=MLT, [ma]=MLT
满足量纲齐次法则的物理规律与这个规律所涉及的物理量的量纲单位的选择无关。 二. 量纲分析
量纲分析是在物理领域中建立数学模型的方法，利用物理量的量纲提供的信息，根据量纲齐次法则确定物理量之间的关系。
例1 建模描述单摆运动的周期
问题：质量为m的小球系在长度为 l的线的一端, 铅垂悬挂。小球稍稍偏离平衡位置后将
在重力的作用下做往复的周期运动。分析小球摆动周期的规律。
假设：1. 平面运动，忽略地球自转； 2.忽略可能的磨擦力；3. 忽略空气阻力； 4.忽略
摆线的质量和变形.
分析建模
0
1. 列出有关的物理量
运动周期 t，摆线长 l，摆球质量 m，重力加速度 g，振幅 x.
0-2
2. 写出量纲: [t]=T，[l]=L，[m]=M，[g]=LT，[x]=1.
0
3. 形式上写出规律: F(t, l, m, g, x)= 0.
0y1y2 y3 y4y5
4. 写出规律中加项 ? 的形式: ?=t l m g x
0y1 y2 y3 -2y4y1-2y4y2 + y4 y3
5. 计算 ? 的量纲: [?] = T L M （LT）= T L M
0
6. 应用量纲齐次原理: 由[?] = 1，可得关于yi （i ＝1, 2, …, 5）的方程组 y1 – 2y4 = 0 y2 + y4 = 0 y3 = 0 y5 任意
0
7. 解方程组: 解空间的维数是二维。对自由变量（y4，y5）选取基底（1，0）和（0，1）。
TT
关于y1, y2, y3 求解方程组可得基础解系{(2, -1, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 1)} 02 -1
8. 求?: 将方程的解代入加项 ? 的表达式，可得 ?1 = tlg， ?2 = x .
0
9. 建模: 单摆运动的规律应为 f (?1, ?2) = 0，解出 ?1 可得 ?1 = k1(?2)，
即有 t?k(x)l/g.
10. 检验： ① 周期与 质量 m 无关
m=390g m=237g
l = 276cm 3.327s 3.350s l = 226cm 3.058s 3.044s
② 周期与振幅 x (l=276cm, m=390g)
x (度) 8.34 13.18 18.17 23.31 28.71 33.92 39.99 46.62
k (x) 6.346 6.346 6.354 6.354 6.388 6.388 6.471 6.524
00
可见： 当 x < 15 时, k( x ) ? 2 ?。当 x ? 15 时，k(x) 与 x 有关。
注1：上面推导过程一般化，进一步得到如下著名的物理定理。 Buckingham ? 定理: 物理量的函数关系 F(x1, ?,xkk) = 0 是量纲齐次的, 当且仅当它?可以表示成形式 f(?1, ?, ?m) = 0， 其中 ?i??xjij，i=1,2,…,m < k,为 xj 的无
j?1量纲乘积， 即 [?i ] = 1.
0
d2xg 注2：在《常微分方程》—(丁同仁、李承治编)书中，通过建立单摆方程 2?sinx?0
dtl讨论单摆运动规律，得到在初始条件： x (t0)= x0, dx/dt(t0)=0 下，单摆振动周期
1/2
T=T(x0)满足规律, 当 x0?0 时，T(x0)? 2?(l/g) 当 x0?? 时，T(x0 ) ? ?。这个讨论比较复杂，最后得到的单摆振动周期规律与上面利用量纲齐次法则得到的规律基本一致。
三. 量的比例关系与轮廓模型
1. 量的比例关系. 因为模型表达了不同量纲的量之间的转换规律，又由量纲分析原理可知:
不同量纲的量的乘幂之间一定存在比例关系。所以在同一模型中，若量 x1和 x2的量
/
纲分别为 [x1] = X?和 [x2] = X?，则一定有 x1=k x2 ??
举例
例 1. 正立方体：棱长 l0=a，底面周长 l1 = 4a，底面对角线长l2?2
2
2a，对角线长l3?3a；
23
表面积 S1 = 6a，底面面积 S2 = a， 对角面面积 S2?2a；体积 V1 = a， 结论：在简单的几何体中，
2 2
相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比；Si ? Lj即有Si = k1 Lj
3 3
相应部位的体积与相应部位长度的立方呈正比；Vi ? Lj即有Vi= k2Lj
3/2 3/2
相应部位的体积与相应部位面积的3/2次方呈正比；Vi ? Sj即有Vi = k3Sj。 例2．长方体：棱长 (a, b, c)，总棱长L1=4(a+b+c), 底面周长 L2=2(a+b),
对角线长l3?a2?b2?c2
表面积 S1=2(ab+bc+ca), 底面面积 S2= ab, 体积 V1=abc, 四棱锥体积 V2=1/3 abc.
若长方体 II 有棱长(a*, b*, c*), 且a*/a = b*/b = c*/c = m.
2233
则有L1*= mL1, L2*=mL2, L3*= mL3; S1*= mS1, S2*= mS2; V1*= mV1, V2*= mV2.
22333/23/2233/2
于是可得Si*/Lk*=Si/Lk; Vi*/Lk*=Vi/ Lk; Vi*/Sk*=Vi/Sk.即得 S=k1L, V=k2L,V=k3S. 结论：在相似的几何体中，
2
相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比； Si ? Lj，
3
相应部位的体积与相应部位长度的立方呈正比； Vi ? Lj
3/2
相应部位的体积与相应部位面积的3/2次方呈正比；Vi ? Sj。
同样的结论对抽象几何体一般也成立
例3. 生活中的长度、面积和体积。 0
1. 纽约黑鲈的体重W和体长L
W(ozs) 17 16 17 23 26 27 41 49 L(in) 12.50 12.63 12.63 14.13 14.50 14.50 17.25 17.75
3
L 1953 2015 2015 2821 3049 3049 5133 5592
3
W/L.0087 .0079 .0084 .008 .0085 .0089 .008 .0088
0
2. 人的体重W和身高L
W(kg) 12 17 22 35 48 54 66 75 L(cm) 86 108 116 135 155 167 178 185 333
L(10cm) 636 1260 1560 2460 3724 4657 5640 6332 3
W/L .0189 .0135 .0141 .0142 .0129 .0116 .0117 .0118 0
3 蜥蜴的体长与体重
小蜥蜴体长15cm,体重为15g, 当它长到20cm长时体重为多少? (20g, 25g, 35g, 40g)
3
以上的例子表明，不少的动物的体重w与体长l的立方呈正比, 即 w? l. 注意自然界中还存在其它情况。 0
4 老虎的身长（不含头尾）与体重 注意到老虎身体的躯干明显下垂。
视老虎的躯干为长度为l，直径为d，截面面积为s的圆柱体。设老虎体重为 w 。
32
由弹性力学的研究结果知，动物在自身体重w作用下躯干的最大下垂度 b ? wl/(sd)。
32
因为 w ? sl, 所以 b/l ? l/d. 称 b/l为躯干的相对下垂度，它应视为与动物尺寸无
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关的常数。于是 d? l, 再考虑到 w ? sl, s ? d, 结果得到 w ? l，即老虎的体重w与体长l的4次方呈正比。 2. 轮廓模型
直接利用不同量纲的量之间的比例关系所得到的模型称之为轮廓模型。
上面已经介绍了若干个最简单的轮廓模型。下面进一步应用轮廓模型解决实际问题。 例4. 商品的包装与成本
商 品 价格 含量 单价 价格 含量 单价
高露洁牙膏 15.7元 190g 8.3元/100g 5.8元 60g 9.7元/100g 诗芬洗发液 35.9元 400ml 9元/100ml 23.1元 200ml 11.5元/100ml
第三章 常用数学模型及建模方法
