《直线与平面平行的判定与性质(高三一轮
复习课)》教学设计
慈溪中学 张露
一、教学内容解析
《直线与平面平行的判定与性质》被安排在新课标《数学》必修2的第二章第二节。在此之前安排了《空间点、直线、平面之间的位置关系》这一节,为学生学习本节知识作了必要的铺垫。《直线与平面平行的判定与性质》既是前面内容的延展与深化,又为之后《直线、平面垂直的判定与性质》研究提供一定的基础,具有承上启下的作用。同时它也体现了新课程标准中提出的“注重提高学生的数学思维能力”的课程基本理念。作为一堂高三一轮复习课,可从中探究出更多的内在联系。
二、教学目标设置 1.教学目标
(1)知识与技能
理解空间直线与平面平行的判定定理与性质定理。 (2)过程与方法
通过定理的理解和应用,可以提高学生感知和梳理知识的能力;由具体问题的解决到解题方法的总结,可以培养学生的探索、操作和归纳能力;让学生对探索性问题进行板演讲解,可以提高学生的数学表达和交流能力,发展独立获取数学知识的能力。 (3)情感、态度与价值观
通过对直线与平面平行的判定与性质的学习过程,激发学生对数学的好奇心和求知欲,培养学生良好的学习习惯和思维品质,培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神,渗透唯物辩证法的思想,引导学生树立科学的世界观,提高学生的数学涵养和综合素质。
2.教学重点
直线与平面平行和平面与平面平行的判定和性质定理及其应用。
3.教学难点
“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化,证明过程中面内平行线的得到以及
平行平面的作法。
三、学生学情分析
第1页/共6页
通过《空间点、直线、平面之间的位置关系》的学习,学生已具备了一定的空间想象能力,为学习《直线与平面平行的判定与性质》作很好的铺垫作用,程度较好的学生对于线面平行的证明很轻松,但也有部分学生的数学底子薄,空间想象能力有所欠缺,在线面平行证明时往往很难找到平面内的已知直线的平行线,并且在书写过程中也会有所遗漏,根据以上特点,合理设置例题,恰当引导,提高学生学习的主动性。
四、教学策略分析
本节课借助多媒体,在教师的启发引导下,以学生独立自主探究为前提,以问题为导
向设计例题,为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会,在知识的形成、发展过程中展开思维,逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。
五、教学过程 (一)引入
立体几何中有三大平行:线线平行、线面平行以及面面平行。2019年高考考试说明:理解空间线面平行,面面平行的判定定理和性质定理。
(二) 回顾与复习
1.直线与平面平行的判定定理
【师】直线与平面平行的判定定理是什么?
【生】平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则直线与此平面平行. 【师】那如何用符号语言叙述?
?a//b?【生】?b???a//?
?a???【师总结】我们要判断a与平面?是否平行,关键只要看平面内是否有已知直线的平行线,若直线存在,则线面平行。 2.直线与平面平行的性质定理
【师】那直线与平面平行的性质定理又是什么?
【生】如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行。
【师】如何用符号语言叙述?
第2页/共6页
?a//??【生】?a???a//b
?????b?3.例题分析
F
P
在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是平行四边形,点E在棱PD上E ?1?若PE?ED1.已知F、G分别是PA、BC的中点,求证:FG//平面EAC.【学生活动】动笔在学案上进行证明 【生】连接EF, EF//
B
G
A C
图1
D
1111AD,EF?AD,CG//AD,CG?AD,?四边形EFGC是平2222行四边形?FG//EC,?EC?平面AEC,FG?平面AEC?FG//平面EAC(见图3) 【师总结】我们发现可以由线线平行证明线面平行,其中最关键的是找到平面内已知直线的平行线,这道题中,线线平行的得到,我们利用的是哪个图形的性质? 【生】平行四边形 例题分析
E P
在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是平行四边形,点E在棱PD上?1?若PE?ED1.已知F、G分别是PA、BC的中点,求证:FG//平面EAC.B 2.求证:BP//平面EAC.【学生活动】动笔在学案上进行证明
【生】 连接BD交AC于O,连接EO,∵点E,O分别为PD,BD的中点,
A C
D
图2
?PB//EO,?EO?平面AEC,PB?平面AEC?PB//平面EAC(见图4)
【师】这一小题,我们也可以利用线线平行证得线面平行,在寻找已知直线的平行线过程中,我们利用的是什么图形的性质? 【生】相似三角形
P
图3
P 图4
【师总结】我们再回过头看看两个图中的直线EC与OE,他们具有怎样的共性?EC其实是过FG的一个平面与平面OE呢?OE其实也一样,是过BP的一个平面与平F EAC的交线,E 面EAC的交线,所以寻找面内的平行线即寻找已知平面的相交平面,那如何作出相交平面A 呢?我们以第二小题为例,要作一个过BP且与平面EAC相交的平面,可以如何作呢?想B
A D
O D
G
C
B
C E 一想确定一个平面的条件。
【生】已知BP两个点,要作出平面EAC的相交平面,相当于只要再找一个点即可,可以
第3页/共6页
找D,则可以作出交线EO。
【师总结】在作相交平面寻找交线的过程中,因为BP在平面EAC的同侧,我们就可以在平面的异侧再找一个点,那异侧又有很多点,那我们可以找哪个呢?当然可以找顶点。其实在利用相交平面寻找平行直线的过程中,我们利用的是直线与平面平行的性质定理。 【师】我们一起来归纳利用线线平行证明线面平行的关键步骤? 【生】①找相交平面②作出交线③证明线线平行
(三)巩固与应用
例题分析
法①:利用线线平行证明线面平行 【学生活动】动笔在学案上进行证明
【师】请一位同学回答,你利用的是线线平行证明线面平行吗? 【生】是的。
【师】你是如何找到平面EAC内BH的平行线的?
B
P 图5 H E
D
C
A
【生】连接BD交AC于O,连接HD交EC于M,连接MO,MO即为两平面的交线。 【师】那你的目标是证明哪两条直线平行? 【生】BH//OM
【师】要证明BH//OM,相当于要证明? 【生】M是HD的中点
【师】现在我们就已经化空间为平面了,只需在△PCD中证明M是HD中点即可。那如何证明呢?
【师生活动】学生边回答,教师边板书
【板书】证明:连接BD交AC于O,连接HD交EC于M,连接OM,取PE中点即为K,连接HK,∵K为PE中点,H为PC中点∴HK//CE∴HK//ME又∵PE=2ED,∴KE=KD,∴E为KD的中点,∴M为HD的中点,又∵O为BD中点,∴BH//OM,又∵BH?平面EAC, OM?平面EAC,∴BH//平面EAC(见图6,图7)
P 图6 P 图7 K
P 图8 G
法②:利用面面平行证明线面平行
H H H 【师】要证明线面平行,除了利用线面平行之外,还能用什么方法来证?请一位学生回答。 E E E M 【生】连接BD交AC于O,连OE,取PE中点为G,连BG,GH,易得BG//OE,GH//EC,
D D D A A M O O ∴得到,GH//平面C AEC,∴得到平面BHG//平面 B BG//平面AECB AEC.(见图8)C D C
第4页/共6页
【师总结】我们发现,在利用面面平行证明时,最关键的是作出过已知直线,并且与已知平面平行的平面,那如何作出平行平面呢?其实只要作出两条与平面EAC平行的相交直线即可,一般可以作比较直观的平行线,比如与EC平行的直线,与EO平行的直线。 【师总结】所以,一般地,在利用面面平行证明线面平行的过程中,关键步骤为:①寻找已知平面的平行线②作出平行平面③证明面面平行。
【师总结】我们再分析比较两个方法:法①关键是作出相交平面,法②关键是作出平行平面。那什么时候利用线线平行去做,什么时候利用面面平行去做呢?第一:当这条交线很容易找,并且和已知直线的平行关系很好说明时,我们可以利用线线平行去证。第二:当这条交线不容易找,或者与已知直线的平行关系很难说明时,可以用面面平行去证。
(四)探索与提升
P
例题分析
在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是平行四边形,点E在棱PD上?3?若PE??ED(??R?),问在棱PC上是否存在点N,使得BN//平面EAC,若存在,请确定点N位置,若不存在,请说明理由.B
E
A 图9
C
D
【师生活动】请一位同学到黑板展示
【生】法①作BQ//OE,过点Q作ON//EC,连接BN,易得平面BNQ//平面EAC,∴BN//平面EAC,
PNPQ??1??1,?PN???PC,??PCPE???1时,点N存在,0???1时,点N不存在。
法②假设点N存在,使得BN//平面EAC,则连接ND交EC于R,必有BN//OR,∵O为BD中点,∴R为ND中点,过点N作NS//RE,则E为SD中点,此时有
PNPS??1,??PCPE?P Q
图12 N ??1?PN?PC,???1时,点N存在,0???1时,点N不存在。
?
P P
【师总结】我们在解决探究性问题时,一般情况下可以先猜猜看,再证,在猜不出的情况下,S
N 我们又可以先假设结论成立,寻找它的等价条件。
E
N
E D
R
D
B
A O 图10
C
E
D
(五)课堂小结 A R O 1.两个定理:①线面平行的判定定理②线面平行的性质定理 B C 图11 C
2.平行问题的转化关系
3.直线与平面平行的主要判定方法:①线面平行的判定定理②面面平行的性质。
第5页/共6页
人教A版高中数学必修二2.3.1《直线与平面平行的判定与性质》教案
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)