一个简单易懂，却可能没有答案的数学问题
著名数学家陶哲轩的伯乐保罗·埃尔德（Paul Erd?s）曾说：“数学还没有做好准备面对这样的问题”。专门研究这个问题的数学家Jeffrey Lagarias说：”这是一个危险的问题。人们沉迷于这个问题，但解决它真的是不可能的任务。“
两位数学家口中所说的问题，名为考拉兹猜想。
考拉兹猜想是数学中最引人注目的难题之一，它由德国数学家洛塔尔·考拉兹（Lothar Collatz）于1937年最早提出。与众多晦涩难懂的数学猜想不同的是，它看起来非常简单，任何已经学过加减乘除的小学生都可以对它进行推演。
考拉兹猜想说的是：无论选择什么正整数作为开始，通过应用上述函数中的规则，最终都会
得到1。
这个问题说起来很简单，理解起来也很容易，从f(n)的表达式来看，它的运算规则一目了然：对于任何正整数，如果数字是偶数，则将其除以2；如果数字是奇数，则让其乘以3，再加1，再除以2；一遍一遍地重复这个过程，直到得到1，然后开始陷入一个循环。
以数字13为例：13是奇数，所以对于f(13)来说，它需要乘以3得到39，加1得到40；这时，40是偶数，所以f(40)需要除以2，得到20；再用20来重复这个计算；20又是偶数，所以只需继续除以2得到10；10还是偶数，除以2后得到5；5是奇数，乘以3、再加1再除以2，得到8；8为偶数，除以2等于4；4再除以2得到2；最后2除以2得到1。
当1开始出现时，事情开始变得有趣了。1是奇数，它需要乘以3再加上1，于是你又会重新得到4。接下来，故事的发展就是我们已经知道的那样，4到2到1再到4——陷入一个循环。如果用箭头来表示整个计算过程，以13为例，我们就会得到考拉兹序列：
任何正整数都会进入这个循环吗？
这正是考拉兹猜想所预测的：无论你以任何正整数开始，最后都会以这个循环结束。不信的话你可以拿任何正整数来试试，看会不会都最终陷入这样一个循环。
其实，如果你想要找到一个反例，可能需要代入一个稍微大点的数字才可能有机会，因为目前在计算机的帮助下，数学家已经对每一个小于2??的数字进行了验证。尽管每个已被试过的正整数都会在这个循环中结束，但我们仍然不能确定考拉兹猜想是否总是正确，它至今仍只是个猜想，始终没有人能为这个看似简单易懂的猜想给出完整的证明。
为什么证明每一个数字都符合这个猜想会如此之难呢？
要证明这个猜想，一个重要的思路是，如果能够证明当对任何正整数运用函数f的运算法则时，总会得到更小的数，那么这将会是证明这一猜想的关键。这是什么意思？我们可以以一个与函数f相似，但又稍微简单一点的分段函数g为例。
继续13为例，在函数g下，13的序列会是：
当g中出现1时，它的循环变成了
相比于f，13在函数g的运算规则下进入循环的速度更快。那么，对所有的正整数来说，在函数g中迭代是否总能循环到1呢？答案是肯定的，这是可以被证明的。
在函数g中，如果n是正偶数，那么g(n) = n/2，始终小于n本身。也就是说，当在函数g中迭代的数字为偶数时，下一个数字一定会更小；如果n是正奇数，那么g(n) = n + 1，大于n，而n + 1是偶数，那么接下来，下一个数字将变成(n + 1)/2，如此一来，对于一个奇数n来说，它在函数g下的迭代序列会是
而我们已知，当n > 1时，(n+1)/2 总是小于n的。这也就是说，在函数g下，当一个轨道中出现了大于1的奇数n时，就总能在两步之后得到一个更小的数(n+1)/2。
如此一来，无论是n是奇数还是偶数，它在g函数中的迭代都会产生呈越来越小的趋势发展的序列，唯一会打破这个规则的是在变小的过程中出现了1，当1一旦出现，便开始进入循环之中。
那么，为什么同样的方法就无法被来证明考拉兹猜想呢？
如果n是偶数，那么在函数f中，下一个数字n/2会变小。但当n为奇数时，会得到偶数3n+1，接着这个偶数再除以2，得到始终比n大的(3n+1)/2。这种情况在g的证明中是不存在的，对函数g来说，当一个奇数n出现时，两步的迭代之后就能得到更小的数字；但对f来说，情况并非这样。
为什么会出现这一问题？其实，问题出在(3n+1)/2的数值上，它既有可能是奇数，也有可能是偶数。
如果(3n+1)/2是偶数，那么下一个数字将是(3n+1)/4，序列会呈减小趋势；但如果(3n+1)/2是奇数，那么下一个数字将是3(3n+1)/2+1，序列会呈增加趋势。因此，这一方法并不适用于证明考拉兹猜想。
不过，以上这种方法也并非对数学家完全没有启发。从概率来看，(3n+1)/2有一半的概率是偶数，也就是说在下一步能得出小于n的(3n+1)/4的概率为50%，这也就意味着一个奇数在两步迭代后会变小的概率是50%。接着，(3n+1)/4又有50%的概率是偶数，也就是说，一个奇数在经过三步迭代后，变成一个小于自身的一半的数的概率是25%……
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