河南省名校鹤壁高中2024届高三压轴第二次考试数学（理科）试题
一、单选题
(★) 1 . 已知集合
A．
，
，则
（）
B． C． D．
(★) 2 . 如图， 是线段 上一点，分别以 为直径作半圆， ， ，在
整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（）
A． B． C． D．
(★) 3 . 设复数 满足
A．1 B．-1 C． D．
(★) 4 . 设等差数列
A．3 B．6 C．9 D．12
(★) 5 . 设函数
A．
，则的虚部为（）
的前 项和为 ，若 ， ，则 （）
，则不等式 的解集为（）
C．
B． D．
(★) 6 . 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面三角形中，最大面积为（）
A．
B．6 C． D．
(★★) 7 . 若在
关于 的展开式中，常数项为4，则 的系数是（）
A．56 B．-56 C．112 D．-112 (★★) 8 .
五对爸爸和孩子分成五组参加一项游戏，其中每组爸爸和一个孩子，每个
孩子都不和自己的爸爸一组，已知 小孩一定要和 爸爸一组，则他们分组的不同方法数有（）
A．11种 B．12种 C．10种 D．9种
(★★) 9 . 已知函数
，且函数
在
上单调递
增，则正数 的最大值为（）
A． B．1 C． D．
(★★★★) 10 . 抛物线 的焦点 是双曲线 的右焦点，
点 是曲线 形，则双曲线
的交点，点 在抛物线的准线上， 的离心率为（）
是以点 为直角顶点的等腰直角三角
A．
B． C． D．
(★★★★) 11 . 设数列 的前 项和为 ， ，且 ，若
，则 的最大值为（）
A．
B． C． D．
(★★★★★) 12 . 若存在正实数 ，使得关于 的方程
有两个不等的实根（其中 是自然对数的底
数），则实数 的取值范围是（）
A．
B．
D．
C．
二、填空题
(★) 13 . 已知向量
满足
，
，向量 与 的夹角为
，则
___．
(★) 14 . 已知变量 满足 ，则 的最小值为______．
(★★) 15 . 在直角坐标系中，曲线
在点 ，使得当 变动时，总有 轴平分
与直线 交于 两点，在 轴上存
，则点 的坐标为_______．
(★★★★★) 16 . 在
过点 作动直线 与线段
中， ，
， ， ，点 为 内切圆的圆心，
都相交，将 沿动直线 翻折，使翻折后的点 在平面
上的射影 落在直线 上，点 在直线 上的射影为 ，则 的最小值为______．
三、解答题
(★) 17 . 在
. ，
，
，点 为
内一点，
，
（1）求 （2）求
； 的面积.
(★) 18 . 在四棱锥 中，底面 为菱形， ，侧面 为等腰直角三角
形， ，点为 棱 的中点.
（1）求证：面 （2）若
面 ；
的正弦值.
，求二面角
(★★) 19 . 某发电厂新引进4台发电机，已知每台发电机一个月中至多出现1次故障，且每台
发电机是否出现故障时相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台发电机出现故障的概率为 .
（1）若一个月中出现故障的发电机台数为 ，求 的分布列；
（2）该发电厂至少有多少名工人，才能保证每台发电机在任何时刻同时出现故障时，能及时进行维修的概率不少于90%？
（3）已知一名工人每月只有维修1台发电机的能力，每台发电机不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生2万元的利润，否则将不产生利润，若该发电厂现有2名工人，要使求该发电厂每月获利的均值不少于6万元，则该发电厂每月需支付给每位工人的工资最多为多少万元？
(★★★★) 20 . 已知椭圆 的右焦点为 ，右顶点为 ，离心率为 ，
以椭圆 的长轴与短轴为对角线的四边形周长为 （1）求椭圆 的方程；
.
（2）设过点 的直线与椭圆交于点 （ 不在 轴上），点 在 轴上，且 做
于点 ，且
，求直线 的斜率的取值范围.
.
在点 处的切线方程；
，过
(★★★★★) 21 . 设函数
（1）证明 （2）已知
的图象过一个定点 ，并求 ，讨论
的零点个数.
(★) 22 . 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，若曲线
的极坐标方程为 ， 点的极坐标为 ，在平面直角坐标系中，直线 经
过点 ，倾斜角为 .
（1）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的参数方程；
（2）设直线 与曲线 相交于 两点，求 的值.
河南省名校鹤壁高中2024届高三压轴第二次考试数学(理科)试题
