专题18圆的对称性
阅读与思考
圆是- -个对称图形.
首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同 时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这 是圆特有的旋转不变性.
由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、 弦心距、弧之间的关系定理及推论?这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面 有广泛的应有.一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用.
熟悉以下基本图形和以上基本结论.
我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道： 印.
“圆，一中间长也.”古代的美索不达米亚人最先开始
制造圆轮?日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了 深深的烙
例题与求解
【例1】在半径为1的O O中，弦AB, AC的长分别为 J3和J2，则/ BAC度数为 ______________
（黑龙江省中考试题）
解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注
AB与AC有不同位置关系.
由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问 题的解决.
【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧 AB , CD , EF ?如果AB +CD = EF，那么AB+CD 与EF的大小关系是（
）
A. AB+CD = EF B. AB+CD>EF
C. AB+CD （江苏省竞赛试题） 解题思路：将弧与弦的关系及三角形的性质结合起来思考. 【例3】（1）如图1，已知多边形 ABDEC是由边长为2的等边三角形 ABC和正方形BDEC组成， O O过A，D，E三点，求O O的半径. ⑵ 如图2,若多边形 ABDEC是由等腰厶ABC和矩形BDEC组成，AB=AC=BD=2,O O过A, D , E三点，问O O的半径是否改变？ （《时代学习报》数学文化节试题） 解题思路：对于⑴，给出不同解法；对于⑵，O的半径不改变，解法类似⑴. 等边三角形、正方形、圆是平面几何图形中最完美的图形，本例表明这三个完美的图形能合成一个 从形式到结果依然完美的图形. 三个完美图形的不同组合可生成新的问题，同学们可参照刻意练习. 【例4】如图，已知圆内接△ ABC中，AB>AC, D为BAC的中点，DE丄AB于E .求证: 2 2 BD2-AD2=ABIIAC . （天津市竞赛试题） 解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明. A 圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法?同样，圆也为解决直 线形问题提供了新的途径和方法，善于促成同圆或等圆中的弦、弦心距、弧、圆周角、圆心角之间相等 或不等关系的互相转化，是解圆相关问题的重要技巧. 【例5】在厶ABC中,M是AB上一点，且 AM2+BM2+CM2=2AM+2BM+2CM — 3 .若P是线段AC 上的一个动点，O O是过P, M , C三点的圆，过 P作PD // AB交O O于点D . ⑴求证：M是AB的中点； ⑵求PD的长. 角与弧、弦之间的转化. （江苏省竞赛试题） 解题思路：对于⑴，运用配方法求出 AM , BM , CM的长，由线段长确定直线位置关系；对于⑵， 促成圆周 B 【例6】已知AD是O O的直径，AB , AC是弦，且AB=AC . C F 图 3 ⑵ 如图2,若弦BC经过半径OA的中点E, F是CD的中点, 求弦FG的长； ⑶如图3,在⑵中若弦 G是FB的中点，O O的半径为1, BC经过半径 0A的中点E, P为劣弧上一动点，连结 PA, PB, PD , PF , PA + PF 求证： --------- 的定值. PB PD （武汉市调考试题） 解题思路：对于⑶，先证明/ BPA= / DPF=30°,/ BPD=60°,这是解题的基础，由此可导出下列解 题突破口的不同思路：①由/ BPA== / DPF=30°，构建直角三角形；②构造 PA+PF, PB+PD相关线段; ③取BD的中点M，连结PM，联想常规命题；等等. 本例实质是借用了下列问题： ⑴如图 1 , FA+PB=、.3 PH ; ⑶进一步，如图3 , ⑵如图 2, PA+PB=PH ; a 若 / APB= a , PH 平分/ APB ,贝U PA+PB=2PHcos —为定 1 值. 图3 2
专题18圆的对称性
