课时作业8 空间向量运算的坐标表示
时间：45分钟 ——基础巩固类——
一、选择题
1．已知a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b＝( B ) A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2) C．(－2,0，－2)
D．(2,1，－3)
解析：b＝(a＋b)－a＝(－1,2，－1)－(1，－2,1)＝(－2，4，－2)．
2．下列各组向量中不平行的是( D ) A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4) B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0) C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0) D．g＝(－2,3,5)，h＝(16,24,40)
解析：b＝－2a?a∥b；d＝－3c?d∥c；零向量与任何向量都平行?e∥f. 3．已知点A的坐标为A(1,1,0)，向量1→
2AB＝(4,0,2)，则点B的坐标为( B A．(7，－1,4) B．(9,1,4) C．(3,1,1)
D．(1，－1,1)
?12
x－1＝4，解析：设B(x，y，z)，则1
?2
(x－1，y－1，z)＝(4,0,2)，∴?1
＝0，
?2y－1
?12z＝2，?x＝9解得?
，?y＝1，
??z＝4，
∴点B的坐标为(9,1,4)．
4．若向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，则( D ) A．cos〈a，b〉＝12
B．a⊥b C．a∥b
D．|a|＝|b|
解析：∵向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)， ∴|a|＝12
＋22
＋02
＝5， |b|＝
－2
2
＋02＋12
＝5，
)
a·b＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2. a·b2
∴cos〈a，b〉＝＝－.
|a|·|b|5
易知A，B不正确，D正确，C显然也不正确．
5．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，则( C ) A．x＝1，y＝1 13
C．x＝，y＝－
62
2x13解析：由a∥b得＝＝.
1－2y913
解得x＝，y＝－.故选C.
62
8
6．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝( C )
9A．2 2
C．－2或
55
B．－2 2
D．2或－
5511B．x＝，y＝－
2213D．x＝－，y＝
62
解析：a·b＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ，因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝8882222
5＋λ·9·＝5＋λ，所以5＋λ＝6－λ，解得λ＝－2或λ＝.
933557．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( C ) A．等腰三角形 C．直角三角形
B．等边三角形 D．等腰直角三角形
→→
解析：AC＝(5,1，－7)，BC＝(2，－3，1)． →→
因为AC·BC＝2×5－3×1－7×1＝0， 所以AC⊥BC.所以∠ACB＝90°. →→
又因为|AC|＝53，|BC|＝14， →→即|AC|≠|BC|，
所以△ABC为直角三角形．
→
8．已知两点的坐标为A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosβ，2sinβ，1)，则|AB|的取值范围是( B )
A．[0,5] C．(1,5)
B．[1,5] D．[1,25]
→
解析：AB＝(2cosβ－3cosα，2sinβ－3sinα，0)， →则|AB|＝
3cosα－2cosβ2
＋3sinα－2sinβ2
＝13－12cosα－β. 由于cos(α－β)∈[－1,1]，
→
所以|AB|∈[1,5]． 二、填空题
9．已知ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为(5,13，－3)．
解析：由平行四边形中对角线互相平分的性质知，AC的中点即为BD的中点，AC的中点77x＋2－5＋y1＋z为(，4，－1)，设D(x，y，z)，则＝，4＝，－1＝，∴x＝5，y＝13，z22222＝－3，故D(5,13，－3)．
10．若a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，则|a－2b|＝258. 解析：∵a－2b＝(8，－5,13)， ∴|a－2b|＝8＋－5＝258.
3π→→
11．已知AB＝(2,4,0)，BC＝(－1,3,0)，则∠ABC＝.
4→→
解析：∵AB＝(2,4,0)，BC＝(－1,3,0)， →→
∴AB·BC＝－2＋12＋0＝10， →222
|AB|＝2＋4＋0＝25， →|BC|＝
－1
22
2
2
＋13
＋3＋0＝10，
22
→→AB·BC102→→
∴cos〈AB，BC〉＝＝＝，
→→2|AB|·|BC|25×10π3π→→
∴〈AB，BC〉＝，∴∠ABC＝.
44三、解答题
→→
12．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB，b＝AC. →
(1)若|c|＝3，且c∥BC，求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
→
解：由题意可知a＝(1,1,0)，b＝(－1，0,2)，BC＝(－2，－1,2)． →
(1)∵c∥BC，
→
∴c＝mBC＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)(m∈R)， ∴|c|＝
－2m2
＋－m2
＋2m2
＝3|m|＝3，∴m＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．
(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)， ∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1. 又|a|＝1＋1＋0＝2，|b|＝
22
2
2
2
2
22
－1＋0＋2＝5，ka＋b与ka－2b互相垂直，
22
∴(ka＋b)·(ka－2b)＝ka－ka·b－2b＝2k＋k－10＝0，
2024学年高中数学2.3.3空间向量运算的坐标表示课时作业含解析北师大版选修2_1
