1．1.1～1.1.2 变化率问题 导数的概念
1．平均变化率
Δy01f?x2?－f?x1?函数f(x)从x1到x2的平均变化率Δx＝. x2－x1□若函数y＝f(x)在点x＝x0及其附近有定义，则函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间f?x0＋Δx?－f?x0?Δy
的平均变化率是Δx＝02. Δx□2．瞬时变化率
设函数y＝f(x)在x0附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变Δx时，函数值的改变量Δy＝03f(x0＋Δx)－f(x0)． Δy
如果当Δx趋近于0时，平均变化率Δx趋近于一个常数L，则常数L称为函数f?x0＋Δx?－f?x0?04f(x)在x0的瞬时变化率，记作lim＝L.
Δx□□Δx→03．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
Δy
一般地，函数y＝f(x)在点x0处的瞬时变化率是lim Δx＝05lim
□Δx→0Δx→0f?x0＋Δx?－f?x0?06y′|
，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或Δx□x＝x07lim f?x0＋Δx?－f?x0?. .即f′(x0)＝0Δx□Δx→0简言之，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的08瞬时变化率．
□
导数概念的理解
(1)Δx→0是指Δx从0的左右两侧分别趋向于0，但永远不会为0.
Δy
(2)若f′(x0)＝lim Δx存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值．
Δx→0
(3)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0， 于是f′(x0)＝limx→x0 义相同．
f?x?－f?x0?f?x0＋Δx?－f?x0?
与概念中的f′(x0)＝lim 意
Δxx－x0
Δx→0
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．( ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．( ) (3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× 2．做一做
(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)＝2x＋1的函数值的增量与相应自变量的增量之比是________．
(2)函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________． 1
(3)函数y＝f(x)＝x在x＝－1处的导数可表示为________． 答案 (1)2 (2)2 (3)f′(－1)或y′|x＝－1
探究1 求函数的平均变化率
例1 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．
[解] 函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 f?x0＋Δx?－f?x0?[3?x0＋Δx?2＋2]－?3x20＋2?
＝ Δx?x0＋Δx?－x0
6x0·Δx＋3?Δx?2
＝＝6x0＋3Δx.
Δx
当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.
1
[结论探究] 在本例中，分别求函数在x0＝1,2,3附近Δx取2时的平均变化率k1，k2，k3，并比较其大小．
[解] 由例题可知，函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0＋3Δx.
1
当x0＝1，Δx＝2时，函数在[1,1.5]上的平均变化率为k1＝6×1＋3×0.5＝7.5； 1
当x0＝2，Δx＝2时，函数在[2,2.5]上的平均变化率为k2＝6×2＋3×0.5＝13.5； 1
当x0＝3，Δx＝2时，函数在[3,3.5]上的平均变化率为k3＝6×3＋3×0.5＝19.5. 所以k1 求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，主要步骤是： (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)； (2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0； Δyf?x1?－f?x0? (3)得平均变化率Δx＝. x1－x0 【跟踪训练1】 (1)若函数f(x)＝x2－1，图象上点P(2,3)及其邻近一点Q(2＋Δy Δx,3＋Δy)，则Δx＝( ) A．4 B．4Δx C．4＋Δx D．Δx (2)求y＝x在x0到x0＋Δx之间的平均变化率________． 1 答案 (1)C (2) x0＋Δx＋x0 Δy4Δx＋?Δx?2 解析 (1)∵Δy＝(2＋Δx)－1－(2－1)＝4Δx＋(Δx)，∴Δx＝＝4＋ Δx 2 2 2 Δx. Δy (2)∵Δy＝x0＋Δx－x0，∴y＝x在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为Δx＝x0＋Δx－x01 ＝. Δxx0＋Δx＋x0 探究2 求平均速度与瞬时速度 例2 若一物体运动的位移s与时间t关系如下：(位移单位：m，时间单位：s)
人教A版高中数学选修2-2讲义第一章导数及其应用 (5)
