§3.2 导数与函数的单调性
函数的单调性与导数的关系
条件
恒有f′(x)>0
函数y＝f (x)在区间(a，b)上可导
f′(x)<0f′(x)＝0
结论
f (x)在(a，b)内单调递增f (x)在(a，b)内单调递减f (x)在(a，b)内是常数函数概念方法微思考
“f (x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)>0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？提示 不正确，正确的说法是：
可导函数f (x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任一非空子区间内都不恒为零．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数f (x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f (x)在此区间内没有单调性．( √ )(2)如果函数f (x)在某个区间内恒有f′(x)≥0，则f (x)在此区间内单调递增．( × )(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f (x)在(a，b)内是减函数．( √ )题组二 教材改编
2.如图是函数y＝f (x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上f (x)是增函数B．在区间(1,3)上f (x)是减函数C．在区间(4,5)上f (x)是增函数D．在区间(3,5)上f (x)是增函数答案 C
解析 在(4,5)上f′(x)>0恒成立，∴f (x)是增函数．3．函数f (x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是( )A．先增后减 C．增函数 答案 D
解析 因为在(0，π)上恒有f′(x)＝－sin x－1<0.所以f (x)在(0，π)上是减函数，故选D.
4．函数f (x)＝ex－x的单调递增区间是________，单调递减区间是________．答案 (0，＋∞) (－∞，0)
解析 由f′(x)＝ex－1>0，解得x>0，故其单调递增区间是(0，＋∞)；由f′(x)<0，解得x<0，故其单调递减区间为(－∞，0)．
B．先减后增D．减函数
题组三 易错自纠
13
5．若函数f (x)＝x3－x2＋ax＋4的单调减区间为[－1,4]，则实数a的值为________．
32答案 －4
解析 f′(x)＝x2－3x＋a，且f (x)的单调减区间为[－1,4]，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1,4]，
∴－1,4是方程f′(x)＝0的两根，则a＝(－1)×4＝－4.
a2
6．若y＝x＋(a>0)在[2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
x答案 (0,2]
a2
解析 由y′＝1－2≥0，得x≤－a或x≥a.
x
a2
∴y＝x＋的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞)．
x∵函数在[2，＋∞)上单调递增，
∴[2，＋∞)?[a，＋∞)，∴a≤2.又a>0，∴0 (1)若f (x)在(2,3)上单调，则实数a的取值范围是________________；(2)若f (x)在(2,3)上不单调，则实数a的取值范围是________．99 答案 (1)(－∞，3]∪，＋∞ (2)3， 22 [)()解析 由f (x)＝x3－ax2，得 f′(x)＝3x2－2ax＝3xx－ ()3 2a .2a3，(1)令f′(x)＝0，得x＝0或x＝ 2a9 若f (x)在(2,3)上单调递减，则有≥3，解得a≥；322a 若f (x)在(2,3)上单调递增，则有≤2，解得a≤3， 3 9 所以若f (x)在(2,3)上单调，实数a的取值范围是(－∞，3]∪，＋∞. 2 [)(2)若f (x)在(2,3)上不单调，则有Error!9 可得3 2 不含参函数的单调性 1．函数f (x)＝x2－2ln x的单调递减区间是( )A．(0,1) C．(－∞，1) 答案 A 22?x＋1??x－1? 解析 ∵f′(x)＝2x－＝(x>0)， xx∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f (x)为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f (x)为增函数．2．函数f (x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )A．(－∞，2) C．(1,4) 答案 D 解析 f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，故选D.3．函数f (x)＝x＋21－x的单调递增区间是__________；单调递减区间是__________．答案 (－∞，0) (0,1) 解析 f (x)的定义域为{x|x≤1}，f′(x)＝1－ .令f′(x)＝0，得x＝0. 1－x1 B．(0,3)D．(2，＋∞)B．(1，＋∞)D．(－1,1) 当0 ∴f (x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0,1)． 4．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x)＝xsin x＋cos x，则f (x)的单调递增区间是______________________．ππ 答案 －π，－和0， 22 ()()()())()解析 f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x.令f′(x)＝xcos x>0， ππ 则其在区间(－π，π)上的解集为－π，－∪0，， 22ππ 即f (x)的单调递增区间为－π，－和0，. 22 (思维升华 确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x)的定义域．(2)求f′(x)． (3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 含参数的函数的单调性 1 例1 已知函数f (x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f (x)的单调性． 2解 函数的定义域为(0，＋∞)，1ax2－?a＋1?x＋1 f′(x)＝ax－(a＋1)＋＝ xx＝ ?ax－1??x－1? . x 1 ①当0 a 1 ∴x∈(0,1)和，＋∞时，f′(x)>0； a ()x∈1， ()a 1 时，f′(x)<0， 11 ∴函数f (x)在(0,1)和，＋∞上单调递增，在1，上单调递减； aa ()()1 ②当a＝1时，＝1， a ∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增； 1 ③当a>1时，0<<1， a∴x∈0， 1 x∈，1时，f′(x)<0， a∴函数f (x)在0， ()()a 1 和(1，＋∞)时，f′(x)>0； ()1 1 和(1，＋∞)上单调递增，在，1上单调递减．aa ()11 综上，当0 aa ()()当a＝1时，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>1时，函数f (x)在0， ()1 1 和(1，＋∞)上单调递增，在，1上单调递减．aa ()若将本例中参数a的范围改为a∈R，其他条件不变，试讨论f (x)的单调性？ 解 a>0时，讨论同上；当a≤0时，ax－1<0， ∴x∈(0,1)时，f′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，∴函数f (x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 综上，当a≤0时，函数f (x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；11 当0 aa ()()当a＝1时，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>1时，函数f (x)在0， ()1 1 和(1，＋∞)上单调递增，在，1上单调递减．aa ()思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 跟踪训练1 (2024·重庆一中模拟)已知函数f (x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)，试讨论f (x)的单调性． 解 f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－ 2a3. 当a＝0时，因为f′(x)＝3x2≥0，所以函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>0时，x∈－∞，－ (2a3 )∪(0，＋∞)时，f′(x)>0，
2024新高考版大一轮复习用书数学第三章 3.2
