解：由图可得：
x1??ax1?ux2??bx2x3??cx3?x2?x1?x1?x2?cx3 x4?x3?dx4y?x3????状态空间表达式为：
?????a1??x??x??0??2????x3??1????0???x4??y??001??0??x1??1??x??0??b00???2????u1?c0??x3??0?
?????01?d??x4??0?000?x由于x2、x3、x4与u无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y只与x3有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。
（3）系统如下式：
????1?0??x1??21???11?x??x???0?10??x???a0?u??2?????2???x3???00?2????x3????b0?? ?????c0d?y??x??000?解：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有a?0,b?0。
要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有c?0,d?0。 3-2时不变系统
??31??11?X???X??11?u1?3????
?11?y??X??1?1??试用两种方法判别其能控性和能观性。 解：方法一：
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??31??1A??,B???1?1?3???11M??BAB????11rankM?1?2,系统不能控。
1??11?,C??1?1?1????
-2-2?-2-2??1??1???C??1?1?N????
??CA?2?2?????44??rankN?2,系统能观。
方法二：将系统化为约旦标准形。
?I?A???3?1?12????3??1?0??3
?1??2，?2??4?1?则状态矢量：A1P1??1P1?P1????1??1? A2P2??2P2?P2????-1?
?11??22??11?-1T?，T???1? ?1?1-1????2??2?11????-31??11??-20?T-1AT??22???1-1???0-4? 11?1-3?????????2??2?11??22??11??11?-1TB?????00? 11??11???????2??2?11??11??20? CT?????????1-1??1-1??02?T-1B中有全为零的行，系统不可控。CT中没有全为0的列，系统可观。 3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数?i和?i
1????1?(1)A??1,b?,C??1?1? ????1??0?2?解：构造能控阵：
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M??b?1?1?1?Ab???? 1?2??要使系统完全能控，则?1?1??2，即?1??2?1?0 构造能观阵：
?1??C??1N?????? ?1??CA???12?要使系统完全能观，则1??2???1，即?1??2?1?0 3-4设系统的传递函数是
y(s)s?a?3 2u(s)s?10s?27s?18
（1）当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的 （2）当a取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。 （3）当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。 解：(1) 方法1 ：W(s)?y(s)s?a? u(s)(s?1)(s?3)(s?6)系统能控且能观的条件为W(s)没有零极点对消。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。
方法2：
a-1a?3a-6y(s)s?a??10?6?15 u(s)(s?1)(s?3)(s?6)s?1s?3s?6?1??1，?2??3，?3??6 ??1X???0??0?a?1y???10?0?3??1??X??1?u????0?6???1??
a?3a?6??X615??00系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为0的列。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。
（2）当a=1, a=3或a=6时，系统可化为能控标准I型
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y??a10? x10??0?0??x??0? u?? ?0x01????
????18?27?10???1??（3）根据对偶原理，当a=1, a=2或a=4时，系统的能观标准II型为
?00?18??a??? ?10?27?x??1? ux???? ???01?10???0??y??001? x 3-6已知系统的微分方程为：y?6y?11y?6y?6u 试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。 解：a0?6，a1?11，a2?6，a3?3，b0?6 系统的状态空间表达式为
?...10??0?0??x??0? u?? ?0x01????
????6?11?6???1??y??600? x传递函数为
0??s?1?W(s)?C(sI-A)-1B??600??0s?1????611s?6???1?0?6?0????s3?6s2?11s?6 ??1??其对偶系统的状态空间表达式为：
?00?6??6??? ?10?11?x??0? ux???? ???01?6???0??y??001? x传递函数为W(s)?6
s3?6s2?11s?63-9已知系统的传递函数为
s2?6s?8W(s)?2
s?4s?3试求其能控标准型和能观标准型。
s2?6s?82s?5?1?2解：W(s)?2
s?4s?3s?4s?3系统的能控标准I型为
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?01??0??? ?xx? ?u???-3-4??1? y??52?x?u 能观标准II型为
?0-3??5??? ?xx? ?u???1-4??2? y??01?x?u 3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。
10??0?0??? ??2?30?x??1? ux???? ????11?3???2??y??001? x10??0?0??，b??1?，C??001? ?2?30解：A??????????11?3???2??M?b??01?3?? AbA2b??1?27????2?511???rankM?2?3，系统为不能控系统，不能变换为能控标准型。
01??C??0????1?1?3? N??CA????2??CA????1?79??rankN?3，系统为能观系统，可以变换为能观标准型。
3-11试将下列系统按能控性进行分解
?12?1??0??,b??0?,C??1?11? 010（1）A?????????0?43???1??解：
M?b??0?1?4?? rankM=2<3，系统不是完全能控的。 AbA2b??000???9??13???0???1??0??，R?Ab??0?，R??1?，其中R是任意的，只要满足R满秩。 0构造奇异变换阵Rc：R1?b??3c23??????????1???3???0??20
现代控制理论第3版课后答案
