第25练 归纳推理与类比推理
[题型分析·高考展望] 归纳推理与类比推理是新增内容，在高考中，常以选择题、填空题的形式考查.题目难度不大，只要掌握合情推理的基础理论知识和基本方法即可解决.
体验高考
1.(2015·陕西)观察下列等式： 111－＝， 22
111111－＋－＝＋， 23434
111111111－＋－＋－＝＋＋， 23456456…，
据此规律，第n个等式可为_______________________________________________. 11111111
答案 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋
2342n2n－12nn＋1n＋2
解析 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，11111
故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1－＋－＋…＋－；等式右边的特
2342n－12n征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个有n项，且由前几个的规律不难发现第n个等式右边应为
111
＋＋…＋.
2nn＋1n＋2
2.(2016·课标全国甲)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________. 答案 1和3
解析 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”.
3.(2015·福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k＝1，2，…，n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0).
已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：
x4x5x6x7＝0，??
?x2x3x6x7＝0，??x1x3x5x7＝0，其中运算定义为0
0＝0，01＝1，10＝1，11＝0.
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________. 答案 5 解析 (ⅰ)x4(ⅲ)x1
x3
x5x5
x6x7＝1
x7＝10
11
0
1＝1；(ⅱ)x2
x3
x6
x7＝1
0
0
1＝0；
1＝1.由(ⅰ)(ⅲ)知x5，x7有一个错误，(ⅱ)中没有错误，
∴x5错误，故k等于5.
高考必会题型
题型一 利用归纳推理求解相关问题 例1 (1)观察下列等式 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …
照此规律，第n个等式可为______________________.
(2)如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )
＋＋n?n＋1?答案 (1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n1n2＝(－1)n1· (2)A
2
解析 (1)观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1，3，6，10，15，21，….设此数列为{an}，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝1＋2＋3n?n＋1?＋＋n?n＋1?
＋…＋n＝.所以第n个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n1n2＝(－1)n1·.
22(2)第一个图，左下角为黑，然后顺时针旋转，变为第二个图；接下来，相邻的黑块顺时针
＋
旋转；所以之后所有图就应该是相邻的黑块顺时针旋转，故选A. 点评 归纳推理的三个特点
(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊对象，归纳所得到的结论是未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围；
(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否准确，还需要经过逻辑推理和实践检验，因此归纳推理不能作为数学证明的工具；
(3)归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助发现问题和提出问题.
π1π2π1π2π3π1
变式训练1 已知cos ＝，cos cos ＝，cos cos cos ＝，
325547778根据以上等式，可猜想出的一般结论是________________________. 答案 cos
π2πnπ1cos ·…·cos ＝n，n∈N* 2n＋12n＋12n＋12
题型二 利用类比推理求解相关问题
例2 半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr①，①式用语言可以叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数，对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请写出类比①的等式：_______________.上式用语言可以叙述为_______________.
4
答案 (πR3)′＝4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数
3
解析 圆的面积类比为球的体积，圆的周长类比为球的表面积，那么语言可以叙述为：球的4
体积函数的导数等于球的表面积函数，故填：(πR3)′＝4πR2；球的体积函数的导数等于球
3的表面积函数.
点评 类比推理的一般步骤
(1)定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
(2)推测，即用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； (3)检验，即检验猜想的正确性，要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力.
变式训练2 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S11
S2，则＝.推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接
S24V1
球体积为V2，则等于( )
V21111A. B. C. D. 642798答案 B
解析 从平面图形类比到空间图形，从二维类比三维，可得到如下结论：正四面体的内切球1V1
与外接球半径之比为，所以正四面体的内切球的体积V1与外接球的体积V2之比等于＝
3V211
()3＝，故选B. 327
高考题型精练
π
1.设0<θ<，已知a1＝2cos θ，an＋1＝2＋an(n∈N*)，猜想an等于( )
2A.2cos
θθθθn B.2cos n－1 C.2cos n＋1 D.2sin n 2222
答案 B
解析 a2＝2＋a1＝2＋2cos θ＝ 同理a3＝
θθ
2＋2cos ＝2cos ，
24
θθ
4cos2＝2cos ，
22
θθ
a4＝2cos ，猜想an＝2cos n－1，故选B.
82
2.面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1，2，3，4)，此四边形内任一点Pa1a2a3a42S
到第i条边的距离记为hi(i＝1，2，3，4)，若＝＝＝＝k，则h1＋2h2＋3h3＋4h4＝.
1234k类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1，2，3，4)，此三棱锥内任S1S2S3S4
一点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝1，2，3，4)，若＝＝＝＝K，则H1＋2H2＋3H3
1234＋4H4等于( ) 2V3VVVA. B. C. D. KK2K3K答案 B
1
解析 根据三棱锥的体积公式V＝SH得：
31111
S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝V， 3333即S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝3V， 3V∴H1＋2H2＋3H3＋4H4＝.
K
a1＋a2＋…＋an
3.若数列{an}是等差数列，则数列{bn}(bn＝)也为等差数列.类比这一性质可知，
n若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为( ) c1＋c2＋…＋cn
A.dn＝
n
c1·c2·…·cn
B.dn＝
n
nnncn1＋c2＋…＋cn
C.dn＝
n
n
D.dn＝c1·c2·…·cn
答案 D
解析 若{an}是等差数列， n?n－1?
则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，
2?n－1?dd
∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，
222即{bn}为等差数列； 若{cn}是等比数列， 则c1·c2·…·cn＝cn1·q
n
1＋2＋…＋(n－1)
n?12＝cn1·qn(n?1)2，
∴dn＝c1·c2·…·cn＝c1·q，
即{dn}为等比数列，故选D.
4.已知f(1，1)＝1，f(m，n)∈N*(m、n∈N*)，且对任意m，n∈N*都有： ①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2； ②f(m＋1，1)＝2f(m，1)；
给出以下三个结论：(1)f(1，5)＝9；(2)f(5，1)＝16； (3)f(5，6)＝26.其中正确的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 答案 A
解析 由题意f(1，5)＝f(1，4)＋2＝f(1，3)＋2＋2 ＝f(1，2)＋2＋2＋2＝f(1，1)＋2＋2＋2＋2＝9，
f(5，1)＝2f(4，1)＝22f(3，1)＝23f(2，1)＝24f(1，1)＝16，f(5，6)＝f(5，5)＋2＝f(5，4)＋4＝…＝f(5，1)＋10＝16＋10＝26. 所以三个都正确，故选A.
5.集合{1，2，3，…，n}(n≥3)中，每两个相异数作乘积，将所有这些乘积的和记为Tn，如： 1
T3＝1×2＋1×3＋2×3＝[62－(12＋22＋32)]＝11；
2T4＝1×2＋1×3＋1×4＋2×3＋2×4＋3×4 1
＝[102－(12＋22＋32＋42)]＝35； 2
T5＝1×2＋1×3＋1×4＋1×5＋…＋3×5＋4×5 1
＝[152－(12＋22＋32＋42＋52)]＝85， 2则T7＝________.(写出计算结果)
考前三个月高考数学（全国甲卷通用理科）知识 方法篇 专题5 数列、推理与证明 第25练
