第十三章 轴对称
13.4课题学习《最短路径问题》
一、教学目标
让学生能够利用轴对称、平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
二、教学重点及难点
重点：利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题． 难点：如何利用轴对称、平移将最短路径问题转化为线段（或线段的和）最短问题． 三、教学用具
电脑、多媒体、课件、刻度尺、直尺 四、相关资源 微课，动画，图片. 五、教学过程 （一）引言导入
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及选择最短路径的问题，本节课我们将利用数学知识探究“将军饮马”和“造桥选址”两个极值问题．
设计意图：直接通过引言导入新课，让学生明确本节课所要探究的内容和方向． （二）探究新知
问题1如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
1．将实际问题抽象为数学问题
学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识． （1）把A，B两地抽象为两个点；
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（2）把河边l近似地看成一条直线，C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小．
2．解决数学问题
（1）由这个问题，我们可以联想到下面的问题：如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？
利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面的问题，即：连接AB，与直线l相交于一点C，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点C即为所求．
（2）现在要解决的问题是：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离和最短？
（3）如何能把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任一点C，都保持CB与CB′的长度相等，就可以把问题转化为“上图”的情况，从而使问题得到解决．
（4）你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点B′吗？
学生独立思考后，尝试画图，完成问题．小组交流，师生共同补充得出： 作法：①作点B关于直线l的对称点B′；
②连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．
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3．证明“最短”
师生共同分析，证明“AC＋BC”最短．
证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′， 由轴对称的性质知：BC＝B′C，BC′＝B′C′， ∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′． 在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′， ∴AC＋BC＜AC′＋BC′． 即AC＋BC最短．
思考：证明AC＋BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC＋BC＜AC′＋BC′？这里“C′”的作用是什么？
学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识．
若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离都大于AC＋BC，就说明AC＋BC最小．
问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．）
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人教版八年级数学上册13.4《最短路径问题》教案
