2.4.1 抛物线及其标准方程
执教者：赖忠艳 2019.11.28
知识与技能：使学生掌握抛物线的定义，理解焦点、准线方程的几何意义，能够根据已知条件写出抛物线的标准方程。 过程与方法：掌握开口向右的抛物线的标准方程的推导过程，进一步理教学 解求曲线的方法——坐标法；通过本节课的学习，学生在解决问题时应具有目标 观察、类比、分析和计算的能力。 情感、态度与价值观：通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育． 教学重点：抛物线的定义和标准方程． 重、 难点：抛物线的标准方程的推导． 难点 教学 多媒体课件 准备 (一)导出课题 我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”． 请大家思考两个问题： 教学过问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？ 程 在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次 函数的图象？ 问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？ 在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形． 引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般 1
意义上来研究抛物线． (二)抛物线的定义 1．回顾 平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？ 2．简单实验 如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结． 3．定义 这样，可以把抛物线的定义概括成： 平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线． (三)抛物线的标准方程 设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？ 让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案： 方案1：(由第一组同学完成，请一学生板练．) 以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2- 30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y轴于D，抛物 2
线的集合为：p={M||MF|=|MD|}． 化简后得：y=2px-p(p＞0)． 方案2：(由第二组同学完成，请一学生板练) 22 以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(如图)．设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为： p={M||MF|=|MD|}． 化简得：y=2px+p2(p＞0)． 方案3：(由第三、四组同学完成，请一学生板练．) 2 取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图． 3
抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}． 化简后得：y=2px(p＞0)． 比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？ 引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍． 由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)： 2 4
将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板，并讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号． (四)四种标准方程的应用 例题：(1)已知抛物线的标准方程是y=6x，求它的焦点坐标和准线方程； (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程． 22 方程是x=-8y． 2 5
2.4.1 抛物线及其标准方程-高中数学人教A版选修2-1公开课教案
