椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）
椭 圆
1. 2.
点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 4. 5.
以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
6.
7.
x2y2x0xy0y(x,y)P??1若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是?2?1. 0000a2b2a2bx2y2若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P、P，则切点弦PP的直线方程
abx0xy0y是2?2?1.
abx2y2椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F，F，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，则椭圆的焦
ab1
2
12
1
2
点角形的面积为S?FPF12?b2tan?2.
8.
x2y2椭圆2?2?1（a＞b＞0）的焦半径公式：
ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).
设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
9.
10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q
交于点N，则MF⊥NF.
x2y2b211. AB是椭圆2?2?1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则kOM?kAB??2abab2x0即KAB??2。
ay012.
，
x0xy0yx02y02x2y2?2?2?2若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则被Po所平分的中点弦的方程是2abababx2y2x2y2x0xy0y?2. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2?2?2ababab双曲线
1. 2.
点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
.
13.
PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 4. 5.
以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支） 若
P0(x0,y0)在双曲线
x2y2??1（a＞0,b＞0）上，则过P0a2b2的双曲线的切线方程是
x0xy0y?2?1. 2ab6.
7.
x2y2若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P、P，
abx0xy0y则切点弦PP的直线方程是2?2?1.
abx2y2双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F，F，点P为双曲线上任意一点?F1PF2??，
ab1
2
1
2
1
2
则双曲线的焦点角形的面积为S?FPF12?b2cot?2.
8.
x2y2双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(?c,0) , F2(c,0)
ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a.
当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a
9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，
A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. 11.
x2y2AB是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为
abb2x0b2x0KOM?KAB?2，即KAB?2。
ay0ay0P0(x0,y0)在双曲线
AB的中点，则
12. 若
x2y2??1（a＞0,b＞0）内，则被a2b2.
Po所平分的中点弦的方程是
x0xy0yx02y02?2?2?2a2bab13. 若
P0(x0,y0)在双曲线
x2y2?2?1（a＞0,b＞0）内，则过2abPo的弦中点的轨迹方程是
x2y2x0xy0y??2?2. a2b2ab椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
高三数学备课组
椭 圆
1.
x2y2椭圆2?2?1（a＞b＞o）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P
ab1、
P2
2.
x2y2时AP与AP交点的轨迹方程是2?2?1.
abx2y2过椭圆2?2?1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两
abb2x0点，则直线BC有定向且kBC?2（常数）.
ay01
1
22
3. 若P
x2y2为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F, F
ab1
2
是焦点, ?PF1F2??,
?PF2F1??，则
4.
a?c???tancota?c22.
x2y2设椭圆2?2?1（a＞b＞0）的两个焦点为F、F,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PFF
ab1
2
12
中，记?F1PF2??, ?PF1F2??,?F1F2P??，则有
sin?c??e.
sin??sin?a5.
x2y2若椭圆2?2?1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F、F，左准线为L，则当0＜e≤2?1时，可
ab1
2
在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6. P为椭圆
x2y2??1（a＞b＞0）上任一点,F,Fa2b21
2
为二焦点，A为椭圆内一定点，则
2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.
7.
(x?x0)2(y?y0)2??1与直椭圆22abA2a2?B2b2?(Ax0?By0?C)2.
线
Ax?By?C?0有公共点的充要条件是
8.
x2y2已知椭圆2?2?1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP?OQ.（1）
ab4a2b21111??2?2;（2）|OP|+|OQ|的最大值为2;（3）S?OPQ的最小值是222|OP||OQ|aba?b2
2
9.
a2b2. 22a?bx2y2过椭圆2?2?1（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x
ab|PF|e?. 轴于P，则
|MN|2x2y2已知椭圆2?2?1（ a＞b＞0）
ab,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交
10.
a2?b2a2?b2?x0?于点P(x0,0), 则?aa11.
.
x2y2设P点是椭圆2?2?1（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F、F为其焦点记?F1PF2??ab1
2
，
2b2则(1)|PF1||PF2|?1?cos?12. 设A、B
.(2) S?PFF12?b2tan?2.
x2y2是椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的长轴两端点，P
ab是椭圆上的一点，?PAB??,
.(2)
2ab2|cos?|?PBA??,?BPA??，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|?22a?ccos2?tan?tan??1?e2.(3) S?PAB2a2b2?2cot?2b?a.
13.
x2y2已知椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相
ab交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线
垂直.
15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
高三数学备课组
双曲线
1.
2.
x2y2双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双
abx2y2曲线于PP时AP与AP交点的轨迹方程是2?2?1.
abx2y2过双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线
ab1、2
11
22
于B,C两点，则直线BC有定向且kBCb2x0??2ay0（常数）.
3. 若P
x2y2为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F, F
ab1
2
是焦点,
?PF1F2??, ?PF2F1??，则
4.
c?a???tancotc?a22（或
c?a???tancotc?a22）.
x2y2设双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个焦点为
ab点，在△PF1F2中，记
F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一
?F1PF2??,
?PF1F2??,
?F1F2P??，则有
sin?c??e.
?(sin??sin?)a5.
x2y2若双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F、F，左准线为L，则当1＜e≤2?1ab1
2
时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6. P
x2y2为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上任一点,F,F
ab1
2
为二焦点，A为双曲线内一定点，则
|AF2|?2a?|PA|?|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成
立.
x2y27. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是
abA2a2?B2b2?C2.
x2y28. 已知双曲线2?2?1（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP?OQ.
ab4a2b21111???;（2）|OP|+|OQ|的最小值为2（1）;（3）S?OPQ的最小值是
|OP|2|OQ|2a2b2b?a22
2
a2b2b2?a29.
.
x2y2过双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的
ab|PF|e?. 垂直平分线交x轴于P，则
|MN|2x2y2已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相
ab10.
11.
12.
a2?b2a2?b2交于点P(x0,0), 则x0?或x0??.
aax2y2设P点是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F、F为其焦点记
ab2b2?2?F1PF2??，则(1)|PF1||PF2|?.(2) S?PFF?bcot.
121?cos?2x2y2设A、B是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，?PAB??,
ab?PBA??,?BPA??，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有
1
2
2ab2|cos?|(1)|PA|?.
|a2?c2cos2?|(2) tan?tan??1?e2.(3) S?PAB2a2b2?2cot?b?a2.
13.
x2y2已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的右准线l与
abx轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直
线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线
必与切线垂直.
15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂
直.
16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
高考数学圆锥曲线的经典性质条
