1.4 平面向量
命题角度1平面向量的线性运
算、平面向量基本定理 高考真题体验·对方向
1.(2024全国Ⅰ·6)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=( ) A. B. C. D. 答案
A 解析 如图,=-
=-) = =) =.
2.(2017全国Ⅲ·12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为( ) A.3 B.2 C. D.2 答案 A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,1),B(0,0),D(2,1). 设P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得r=, 即圆的方程是(x-2)2+y2=. 易知=(x,y-1),=(0,-1),=(2,0). 由=λ+μ,
得所以μ=,λ=1-y, 所以λ+μ=x-y+1.
设z=x-y+1,即x-y+1-z=0.
因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=上,
所以圆心C到直线x-y+1-z=0的距离d≤r, 即,解得1≤z≤3,
所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故选A.
3.(2015全国Ⅰ·7)设D为△ABC所在平面内一点,=3,则( ) A.=- B. C. D. 答案 A 解析 如图:
∵=3, ∴)
=-.
4.(2015全国Ⅱ·13)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ= . 答案 解析 由题意知存在常数t∈R,使λa+b=t(a+2b),得解之得λ=.
新题演练提能·刷高分
1.(2024重庆二诊)已知两个非零向量a,b互相垂直,若向量m=4a+5b与n=2a+λb共线,则实数λ的值为( )
A.5 B.3 C.2.5 D.2 答案 C 解析 ∵向量m=4a+5b与n=2a+λb共线,
∴存在实数t,使得m=tn,即4a+5b=t(2a+λb), 又向量a,b互相垂直,故a,b不共线. ∴解得故选C.
2.(2024山西一模)在平行四边形ABCD中,点E为CD的中点,BE与AC的交点为F,设=a,=b,则向量=( ) A.a+b B.-a-b C.-a+b D.a-b 答案 C 解析 )=(b-a)=-a+b,故选C.
3.(2024安徽安庆二模)在△ABC中,点D是边BC上任意一点,M是线段AD的中点,若存在实数λ和μ,使得=λ+μ,则λ+μ=( ) A. B.- C.2 D.-2 答案 B 解析 因为点D在边BC上,所以存在t∈R,使得=t=t().
因为M是线段AD的中点,所以)=(-+t-t)=-(t+1),
又=λ+μ,所以λ=-(t+1),μ=t,所以λ+μ=-.故选B.
4.(2024安徽淮南一模)已知G是△ABC的重心,过点G作直线MN与AB,AC交于点M,N,且=x=y(x,y>0),则3x+y的最小值是( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 如图,∵M,N,G三点共线,∴=λ,
∴=λ().
∵G是△ABC的重心, ∴),
∴)-x=λy),
∴解得(3x-1)(3y-1)=1,结合图象可知≤x≤1,≤y≤1,
令3x-1=m,3y-1=n≤m≤2,≤n≤2,
故mn=1,x=,y=,
故3x+y=1+m++m++2,
当且仅当m=,n=时等号成立,故选D.
5.(2024山东菏泽一模)已知在△ABC中,D为边BC上的点,且BD=3DC,点E为AD的中点,=m+n,则m+n= . 答案 -
解析 如图所示,
=)= = =)-=-. 又=m+n, 所以m+n=-, 所以m++n-=0. 又因为不共线,
2024版高考数学(理科)总复习练习：1.4 平面向量 含解析
