第8讲 函数与方程
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
2．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
二次函数 y＝ax2＋ bx＋c(a＞0) 的图象 与x轴 的交点 零点个数 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 (x1，0)，(x2，0) 两个 (x1，0) 一个
无交点 零个 [疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( ) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．( )
(4)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ [教材衍化]
2
1．(必修1P92A组T5改编)函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是( )
xA．(1，2)
B．(2，3)
1?C.??e，1?和(3，4)
D．(4，＋∞)
2
解析：选B.易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)·f(3)＜0.
3故选B.
2．(必修1P88例1改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是______．
1
解析：由已知得f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝
e1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．
答案：1 [易错纠偏]
(1)错用零点存在性定理； (2)误解函数零点的定义； (3)忽略限制条件；
(4)错用二次函数在R上无零点的条件． 1
1．函数f(x)＝x＋的零点个数是______．
x
解析：函数的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)<0，所以函数没有零点．
答案：0
2．函数f(x)＝x2－3x的零点是______． 解析：由f(x)＝0，得x2－3x＝0， 即x＝0和x＝3. 答案：0和3
3．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是______． 解析：二次函数f(x)图象的对称轴方程为x＝1.若在区间(0，4)上存在零点，只需f(1)≤0且f(4)>0即可，即－1＋m≤0且8＋m>0，解得－8 答案：(－8，1] 4．若二次函数f(x)＝x2＋kx＋k在R上无零点，则实数k的取值范围是______． 解析：由题意得Δ＝k2－4k<0，解得0 函数零点所在区间的判断 设f(x)＝0.8x－1，g(x)＝ln x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)存在的零点一定位于下列哪 个区间( ) A．(0，1) C．(2，e) B．(1，2) D．(e，3) 【解析】 h(x)＝f(x)－g(x)的零点等价于方程f(x)－g(x)＝0的根， 即为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点的横坐标，其大致图象如图，从图象可知它们仅有一个交点A，横坐标的范围为(0，1)，故选A. 【答案】 A 判断函数零点所在区间的3种方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上． (2)定理法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)图象法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 1．(2020·金华十校联考)函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为( ) 11?A.??4，2? 10，? C.??8? 1?π1解析：选A.因为f?＝＋log2<0， ?4?44 1?π1?1?·?1?<0，?11?f?＝＋log所以ff故函数f(x)＝πx＋log2>0，2x的零点所在区间为，. ?2?2?4??2??42?22．(2020·杭州市严州中学高三模拟)若a A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 解析：选A.因为f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)， 所以f(a)＝(a－b)(a－c)， f(b)＝(b－c)(b－a)， f(c)＝(c－a)(c－b)， 因为a 所以f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内． 11? B.??8，4? 1?D.??2，1? 函数零点个数的问题 2??x＋x－2，x≤0， (1)函数f(x)＝?的零点个数为( ) ?－1＋ln x，x>0? A．3 C．1 B．2 D．0 (2)已知函数f(x)满足f(x)＝f(3x)，且当x∈[1，3)时，f(x)＝ln x，若在区间[1，9)内，函数g(x)＝f(x)－ax有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) ln 31? A.??3，e? ln 31?C.??9，2e? ln 31? B.??9，3e? ln 3ln 3?D.??9，3? ?x≤0，? 【解析】 (1)法一：由f(x)＝0得?2 ??x＋x－2＝0??x>0， 或?解得x＝－2或x＝e. ?－1＋ln x＝0，? 因此函数f(x)共有2个零点． 法二：函数f(x)的图象如图所示， 由图象知函数f(x)共有2个零点． x??x?＝lnx，所以f(x)＝(2)因为f(x)＝f(3x)?f(x)＝f?，当x∈[3，9)时，f(x)＝f?3??3?3ln x，1≤x<3，???x而g(x)＝f(x)－ax有三个不同零点?y＝f(x)与y＝ax的图象有三个不同交点，ln，3≤x<9，??3 ln 31如图所示，可得直线y＝ax应在图中两条虚线之间，所以可解得 93e 【答案】 (1)B (2)B 判断函数零点个数的3种方法 (1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质． (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 1．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为( ) A．0 C．2 B．1 D．3 解析：选C.由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x>0)，y2＝ln x(x>0)的图象，如图所示． 由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2. 2．已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x>0时，f(x)＝2|1|－1，0 A．4 C．8 B．6 D．10 x－ 解析：选D.由f(x)为偶函数可得，只需作出x∈(0，＋∞)上的图象，再利用对称性作另一半图象即可．当x∈(0，2]时，可以通1 过y＝2x的图象进行变换作出f(x)的图象，当x>2时，f(x)＝f(x－ 22)，即自变量差2个单位，函数值折半，进而可作出f(x)在(2，4]， 1 (4，6]，…的图象，如图所示．g(x)的零点个数即f(x)＝的根的个数，也即f(x)的图象与y＝ 41 的图象的交点个数，观察图象可知，当x>0时，有5个交点，根据对称性可得当x<0时，4 也有5个交点，共计10个交点，故选D. 函数零点的应用(高频考点) 高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现．主要命题角度有：
2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章 8 第8讲 函数与方程
