lim(1?x)?ex?01xv(x)?0lim?1?v(x)?1v(x)?e;
十．函数的连续性与间断点
定义 1：设y?f(x)在x的某邻域内有定义，若lim0x?x0f(x)?f(x0)，就称函数
y?f(x)在x0 点处连续。
注 1：不仅要求f(x)在x0点有意义，而且要limf(x)?f(x0)，f(x)在x0点连续，limf(x)存在，x?xx?x00即极限值等于函数值。
2：若limf(x)?f(x0?0)?f(x)，就称f(x)在x0点左连续。若limf(x)?f(x0?0)?f(x)，
x??x?x?x?00就称f(x)在x0点右连续。
3：如果f(x)在区间I上的每一点处都连续，就称f(x)在I上连续；并称f(x)为I上的连续函数；若I包含端点，那么f(x)在左端点连续是指右连续，在右端点连续是指左连续。
定义1ˊ：设y?f(x)在x的某邻域内有定义，若对???0,???0，当
0x?x0??时，有f(x)?f(x)??，就称f(x)在x点连续。
00 下面再给出连续性定义的另一种形式：
先介绍增量：变量u由初值u1变到终值u2，终值u2与初值u1的差u2?u1称为u的增量，记为?u，即?u?u2?u1；?u可正、可负、也可为零，这些取决于u1与u2的大小。 我们称x?x0为自变量x在x0点的增量，记为?x，即?x?x?x0或x?x0??x；
x?x0??x?0相应函数值差，f(x)?f(x0)称为函数f(x)在x0点的增量，记为?y，即
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?y?f(x)?f(x0)?y?y0，即f(x)?f(x0)??y或y?y0??y， f(x)?f(x0)?f(x0??x)?f(x0)?0??y?0。
定义1″：设y?f(x)在x0的某邻域内有定义，若当?x?0时，有?y?0，即lim?y?0，
?x?0或lim[f(x0??x)?f(x0)]?0，就称f(x)在x0点连续。 ?x?0定理：f(x)在x点连续?f(x)在x点既左连续，又右连续。
00归纳：(1)xlim?x0f(x)??，x0为无穷间断点；
0f(x)震荡不存在，x为震荡间断点； (2)xlim?x0 (3)xlim?x0f(x)?A?f(x0)，x0为可去间断点；
0limf(x)?limf(x)，x为跳跃间断点。 (4)x?x?0x?x?000如果f(x)在间断点x0处的左右极限都存在，就称x0为f(x)的第一类间断点，显然它包含(3)、(4)两种情况；否则就称为第二类间断点。
十一．连续函数的运算与初等函数的连续性：
（1） 函数连续的定义
设y?f(x)在点x0及其邻域U(x)内有定义，若 （i）lim?y?lim[f(x0??x)?f(x0)]?0
?x?0?x?0limf(x)?f(x0) 或（ii）x?x0或（iii）???0,???0,当x:x?x0??时，有f(x)?f(x0)??. 则称函数y?f(x)在点x0处连续
设y?f(x)在点(x0??,x0]内有定义，若limf(x)?f(x0)，则称函数y?f(x)在点x0处左
x?x0?17 / 20
连续，
设y?f(x)在点[x0,x0??)内有定义，若limf(x)?f(x0)，则称函数y?f(x)在点x0处右
x?x0?连续
若函数y?f(x)在(a,b)内每点都连续，则称函数y?f(x)在(a,b)内连续
若函数y?f(x)在(a,b)内每点都连续，且limf(x)?f(a)，limf(x)?f(b)，则称函数
x?a?x?b?y?f(x)在[a,b]上连续，记作f(x)?C[a,b]
（2） 函数的间断点
设y?f(x)在点x0的某去心邻域U(x)内有定义 若函数y?f(x)： （i）在点x0处没有定义
（ii）虽然在x0有定义? 但limf(x)不存在?
x?x0o (3)虽然在x0有定义且limf(x)存在? 但limf(x)?f(x0)?
x?x0
x?x0则函数f(x)在点x0为不连续? 而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点。 设点x0为y?f(x)的间断点，
（1）limf(x)?limf(x)?f(x0)，则称点x0为y?f(x)的可去间断点，若（2）
x?x0??x?x0?x?x0?limf(x)?lim?f(x)，则称点x0为y?f(x)的跳跃间断点，
x?x0可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点
（3）limf(x)??或limf(x)??则称点x0为y?f(x)的无穷型间断点，
x?x0?x?x0?（4）若limf(x)或limf(x)不存在且都不是无穷大，则称点x0为y?f(x)的振荡型间断
x?x0?x?x0?点，
无穷间断点和振荡间断点统称为第二类间断点
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11、连续函数的运算
（1） 连续函数的四则运算
若函数f(x)g(x)在点x0处连续 则f(x)?g(x),f(x)?g(x),f(x)(g(x0)?0)在点x0处也连续 g(x)（2） 反函数的连续性，
若函数y?f(x)在区间Ix上单调增加（或单调减少）且连续，则其反函数x?f?1(y)在其对应的区间Iy?{yy?f(x),x?Ix}上也单调增加（或单调减少）且连续。
（3） 复合函数的连续性
设函数y?f[g(x)]由函数y?f(u),u?g(x)复合而成，U(x0)?Dfog，
若（1）limg(x)?u(或limg(x)?g(x)?u)
x?x00x?x000（2）limf(u)?f(u)则limf[g(x)]?f[limg(x)]?f(u)
u?u00x?x0x?x00 （或limf[g(x)]?f[limg(x)]?f[g(x)]?f(u)）
x?x0x?x000（4） 初等函数的连续性
一切初等函数在其定义区间内都是连续的 （5） 闭区间上连续函数的性质
（ i）有界性 若f(x)?C[a,b]，则y?f(x)在[a,b]上有界
（ii）最大值、最小值定理，若f(x)?C[a,b]，则y?大值和最小值
f(x)在[a,b]上一定有最
（iii）零点性 若f(x)?C[a,b]，且f(a)f(b)?0则至少存在一点??(a,b)使得f(?)?0
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（iv）介值性 若f(x)?C[a,b]，且f(a)?则至少存在一点??(a,b)使得f(?)??
f(b)，?是介于f(a),f(b)之间的任一值，
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高等数学-上册-第一章总结
