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高等数学-上册-第一章总结

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注1:“x与x0充分接近”在定义中表现为:???0,有0?x?x0??,即x?U(x0,?)。显然?越小,x与x0接近就越好,此?与数列极限中的N所起的作用是一样的,它也依赖于?。一般地,?越小,?相应地也小一些。

2:定义中0?x?x0表示x?x0,这说明当x?x0时,f(x)有无限与f(x0)在x0点(是否有)的定义无关(可以无定义,即使有定义,与f(x0)值也无关)。

3:几何解释:对???0,作两条平行直线y?A??,y?A??。由定义,对此?,???0。当x0???x?x0??,且x?x0时,有A???f(x)?A??。即函数y?f(x)的图形夹在直线。换言之:当x?U(x0,?)时,f(x)?U(A,?)。从图y?A??,y?A??之间(f(x0)可能除外)中也可见?不唯一!

??定理1:(保号性)设limf(x)?A,

x?x0(i) 若A?0(A?0),则???0,当x?U(x,?)时,f(x)?0(f(x)?0)。

?0(ii) 若f(x)?0(f(x)?0),必有A?0(A?0)。

?A证明:(i)先证A?0的情形。取??,由定义,对此?,???0,当x?U(x0,?)时,

2AAAA3Af(x)?A???,即0??A??f(x)?A???f(x)?0。

22222A 当A?0时,取???,同理得证。

2 (ii)(反证法)若A?0,由(i)?f(x)?0 矛盾,所以A?0。 当f(x)?0时,类似可证。

注:(i)中的“?”,“?”不能改为“?”,“?”。 在(ii)中,若f(x)?0,未必有A?0。

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定义2:对???0,???0,当x0???x?x0时,[当x0?x?x0??时],有f(x)?A??.这时就称A为f(x)当x?x0时的左[右]极限,记为limf(x)?A或f(x?0)?A。

x?x?00 [limf(x)?A或f(x0?0)?A]。

x?x?00limf(x)?A?limf(x)?limf(x)?A定理2:。

x?x0x?x0?0x?x0?0

定义3:设f(x)当x?a(a?0)时是有定义的,若对???0,?X(?a),当x?X时,有

就称A为f(x)当x??时的极限,记为limf(x)?A或f(x)?A(当f(x)?A??,

x??x??时)。

注: 1:设f(x)在[a,??),((??,b])上有定义,若对???0,?X?0,当x?X(x??X)时,有

就称A为f(x)当x???(x???)时的极限,记为limf(x)?A,f(x)?A??,

x???或f(x)?A(当x???)(lim 2:limf(x)?A?limx??x???)。 f(x)?A,或f(x)?A(当x???)

x???f(x)?limf(x)?A。

x??? 3:若limf(x)?A,就称y?A为y?f(x)的图形的水平渐近线(若

x??x???。 limf(x)?A或limf(x)?A,有类似的渐近线)

x???六.无穷大与无穷小

定义:设?与?为x在同一变化过程中的两个无穷小,

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若lim?若lim????0,就说?是比?高阶的无穷小,记为??o(?); 低阶的无穷小; 同阶的无穷小;

,就说?是比???,

若lim?若lim?

?,就说?是比??C?0,

?1,就说?与??是等价无穷小,记为?~?。

当x?0时,x2是x的高阶无穷小,即x2?o(x) 在目前,常用当x?0时,等价无穷小有:

12sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,1?cosx~x;

2

注 1:高阶无穷小不具有等价代换性,即:x2?o(x),x2?o(因为o(?)不是一个量,而是高阶无穷小的记号; 2.等价无穷小具有传递性:即?~?,?~???~?

x),但o(x)?o(x),

3.未必任意两个无穷小量都可进行比较,例如:当x?0时,xsin1与x2既非同

x阶,又无高低阶可比较,因为limx?0xsinx21x不存在;

4.用等价无穷小可以简化极限的运算,事实上,有:

定理:若?,?,??,??均为x的同一变化过程中的无穷小,且?~??,?~??,及lim????,那么lim???lim???。

???注:用等价无穷小代换适用于乘、除,对于加、减须谨慎!【但,并不是不能用!!】

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代换后的结果如果没有在加减运算中消掉的话,就可以用! 例如:lim的。 再例如:lim

x→0

x?sinxx3x+sinxx

x→0

,若是将sinx换成x,x不会在加减运算中被消去,因此这个是可以用

这个极限如果将sinx换成x就不行了,因为这个x会在加减运算中

被消去,这个就不能。

【虽然这个方法成立,但是老师在改题的时候就不会想这么多,只要跟课上他讲的不一样就是错的,所以这个方法还是下来自己用好了】

while的条件是while(scanf(\,意思是成功输入一个n就进入循环

定义1:对???0,若???0(X?0),使得当0?x?x立,就称f(x)为当x?x00??(x?X)时,有f(x)??成

(x???)时的无穷小,记为limf(x)?0(limf(x)?0)。

x?x0x???定理1:当自变量在同一变化过程x?x(或x??)中时:

0(i)具有极限的函数等于其极限与一个无穷小之和,即:A为f(x)的极限?f(x)?A为无穷小。

(ii)若一函数可表示为一常数与无穷小之和,那么该常数就是其极限

定义2:若对?M?0,???0(X?0),使得当0?x?x0??(x?X)时,有f(x)?M,就称f(x)当x?x0(x??)时的无穷大,记作:limf(x)??(limf(x)??)。

x?xx??06、无穷小量与无穷大量的概念

?(x)?0,即对???0,???0,当x:0?(1) 若xlim??(x?x0)x?x0??(或

x?X)时

有?(x)??,则称当x?x0(或x??),?(x)无穷小量

(2) 若x??limf(x)??(x?x0)即对?M?0,???0(或X?0),当x:0?9 / 20

(或x?Xx?x0??)

时有

f(x)?M则称当x?x0(或x??),f(x)无穷大量

7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系,无穷小量的运算法则

(1)x??limf(x)?A?f(x)?A??(x),其中lim?(x)?0x??(x?x0)(x?x0)

1f(x)?0(f(x)?0)?lim?? (2)xlim??x??f(x)(x?x)(x?x)001limg(x)???lim?0x??(3)x?? g(x)(x?x)(x?x)00f(x)??且?M?0,当x:0?(4)xlim??(x?x0)x?x0??(或

x?X)时有g(x)?M,

则x??lim[f(x)?g(x)]??(x?x0)

x?X(5)xlim??则x??f(x)?0且?M?0,当x:0?x?x0??(或

)时有g(x)?M,

(x?x0)lim[f(x)?g(x)]?0(x?x0)

fk(x)?0,lim?fk(x)?0, ?则xlim??x??k?1(x?x0)(x?x0)k?1(6)x??

limfk(x)?0(k?1,2,L,n)nn(x?x0)8、无穷小量的比较

x??(x?x0)limf(x)?0,limg(x)?0,lim?(x)?0

x??(x?x0)x??(x?x0)若(1)xlim??(x?x0)f(x)?C?0,,则称当x?x0(或x??)时,f(x)与g(x)是同阶无穷小。 g(x)10 / 20

高等数学-上册-第一章总结

注1:“x与x0充分接近”在定义中表现为:???0,有0?x?x0??,即x?U(x0,?)。显然?越小,x与x0接近就越好,此?与数列极限中的N所起的作用是一样的,它也依赖于?。一般地,?越小,?相应地也小一些。2:定义中0?x?x0表示x?x0,这说明当x?x0时,f(x)有无限与f(x0)在x0点(是否有)的定义无关(可以无定义,即使有定义,与f(x0)值也无关)。
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