注1：“x与x0充分接近”在定义中表现为：???0，有0?x?x0??，即x?U(x0,?)。显然?越小，x与x0接近就越好，此?与数列极限中的N所起的作用是一样的，它也依赖于?。一般地，?越小，?相应地也小一些。
2：定义中0?x?x0表示x?x0，这说明当x?x0时，f(x)有无限与f(x0)在x0点（是否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与f(x0)值也无关）。
3：几何解释：对???0，作两条平行直线y?A??,y?A??。由定义，对此?,???0。当x0???x?x0??，且x?x0时，有A???f(x)?A??。即函数y?f(x)的图形夹在直线。换言之：当x?U(x0,?)时，f(x)?U(A,?)。从图y?A??,y?A??之间（f(x0)可能除外）中也可见?不唯一！
??定理1：（保号性）设limf(x)?A，
x?x0（i） 若A?0(A?0)，则???0，当x?U(x,?)时，f(x)?0(f(x)?0)。
?0（ii） 若f(x)?0(f(x)?0)，必有A?0(A?0)。
?A证明：（i）先证A?0的情形。取??，由定义，对此?,???0，当x?U(x0,?)时，
2AAAA3Af(x)?A???，即0??A??f(x)?A???f(x)?0。
22222A 当A?0时，取???，同理得证。
2 （ii）(反证法)若A?0，由(i)?f(x)?0 矛盾，所以A?0。 当f(x)?0时，类似可证。
注：(i)中的“?”，“?”不能改为“?”，“?”。 在(ii)中，若f(x)?0，未必有A?0。
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定义2：对???0，???0，当x0???x?x0时，[当x0?x?x0??时]，有f(x)?A??.这时就称A为f(x)当x?x0时的左[右]极限，记为limf(x)?A或f(x?0)?A。
x?x?00 [limf(x)?A或f(x0?0)?A]。
x?x?00limf(x)?A?limf(x)?limf(x)?A定理2：。
x?x0x?x0?0x?x0?0
定义3：设f(x)当x?a(a?0)时是有定义的，若对???0,?X(?a)，当x?X时，有
就称A为f(x)当x??时的极限，记为limf(x)?A或f(x)?A（当f(x)?A??，
x??x??时）。
注： 1：设f(x)在[a,??),((??,b])上有定义，若对???0,?X?0，当x?X(x??X)时，有
就称A为f(x)当x???(x???)时的极限，记为limf(x)?A，f(x)?A??，
x???或f(x)?A（当x???）（lim 2：limf(x)?A?limx??x???）。 f(x)?A，或f(x)?A（当x???）
x???f(x)?limf(x)?A。
x??? 3：若limf(x)?A，就称y?A为y?f(x)的图形的水平渐近线（若
x??x???。 limf(x)?A或limf(x)?A，有类似的渐近线）
x???六．无穷大与无穷小
定义：设?与?为x在同一变化过程中的两个无穷小，
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若lim?若lim????0，就说?是比?高阶的无穷小，记为??o(?)； 低阶的无穷小； 同阶的无穷小；
，就说?是比???，
若lim?若lim?
?，就说?是比??C?0，
?1，就说?与??是等价无穷小，记为?~?。
当x?0时，x2是x的高阶无穷小，即x2?o(x) 在目前，常用当x?0时，等价无穷小有：
12sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,1?cosx~x；
2
注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：x2?o(x),x2?o(因为o(?)不是一个量，而是高阶无穷小的记号； 2.等价无穷小具有传递性：即?~?,?~???~?
x)，但o(x)?o(x)，
3.未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当x?0时，xsin1与x2既非同
x阶，又无高低阶可比较，因为limx?0xsinx21x不存在；
4.用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：
定理：若?,?,??,??均为x的同一变化过程中的无穷小，且?~??,?~??，及lim????，那么lim???lim???。
???注：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！【但，并不是不能用！！】
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代换后的结果如果没有在加减运算中消掉的话，就可以用！ 例如：lim的。 再例如：lim
x→0
x?sinxx3x+sinxx
x→0
，若是将sinx换成x，x不会在加减运算中被消去，因此这个是可以用
这个极限如果将sinx换成x就不行了，因为这个x会在加减运算中
被消去，这个就不能。
【虽然这个方法成立，但是老师在改题的时候就不会想这么多，只要跟课上他讲的不一样就是错的，所以这个方法还是下来自己用好了】
while的条件是while(scanf(\，意思是成功输入一个n就进入循环
定义1：对???0,若???0(X?0)，使得当0?x?x立，就称f(x)为当x?x00??(x?X)时，有f(x)??成
(x???)时的无穷小，记为limf(x)?0(limf(x)?0)。
x?x0x???定理1：当自变量在同一变化过程x?x（或x??）中时：
0（i）具有极限的函数等于其极限与一个无穷小之和，即：A为f(x)的极限?f(x)?A为无穷小。
（ii）若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限
定义2：若对?M?0,???0(X?0)，使得当0?x?x0??(x?X)时，有f(x)?M，就称f(x)当x?x0(x??)时的无穷大，记作:limf(x)??(limf(x)??)。
x?xx??06、无穷小量与无穷大量的概念
?(x)?0，即对???0,???0,当x:0?（1） 若xlim??(x?x0)x?x0??（或
x?X）时
有?(x)??，则称当x?x0(或x??)，?(x)无穷小量
（2） 若x??limf(x)??(x?x0)即对?M?0,???0(或X?0),当x:0?9 / 20
（或x?Xx?x0??）
时有
f(x)?M则称当x?x0(或x??)，f(x)无穷大量
7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则
（1）x??limf(x)?A?f(x)?A??(x),其中lim?(x)?0x??(x?x0)(x?x0)
1f(x)?0（f(x)?0）?lim?? （2）xlim??x??f(x)(x?x)(x?x)001limg(x)???lim?0x??（3）x?? g(x)(x?x)(x?x)00f(x)??且?M?0,当x:0?（4）xlim??(x?x0)x?x0??（或
x?X）时有g(x)?M，
则x??lim[f(x)?g(x)]??(x?x0)
x?X（5）xlim??则x??f(x)?0且?M?0,当x:0?x?x0??（或
）时有g(x)?M，
(x?x0)lim[f(x)?g(x)]?0(x?x0)
fk(x)?0,lim?fk(x)?0, ?则xlim??x??k?1(x?x0)(x?x0)k?1（6）x??
limfk(x)?0(k?1,2,L,n)nn(x?x0)8、无穷小量的比较
x??(x?x0)limf(x)?0,limg(x)?0,lim?(x)?0
x??(x?x0)x??(x?x0)若（1）xlim??(x?x0)f(x)?C?0,，则称当x?x0(或x??)时，f(x)与g(x)是同阶无穷小。 g(x)10 / 20
高等数学-上册-第一章总结
