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2010年全国高中数学联赛
一 试
一、填空题（每小题8分，共64分，） 1. 函数f(x)?x?5?24?3x的值域是 .
2. 已知函数y?(acos2x?3)sinx的最小值为?3，则实数a的取值范围是 . 3. 双曲线x2?y2?1的右半支与直线x?100围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 .
4. 已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中
a1?3,b1?1,a2?b2,3a5?b3，且存在常数?,?使得对每一个正整数n都有an?log?bn??，
则???? .
5. 函数f(x)?a2x?3ax?2(a?0,a?1) 在区间x?[?1,1]上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 .
6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .
7. 正三棱柱ABC?A1B1C1的9条棱长都相等，二面角B?A1P?B1??,P是CC1的中点，则sin?? .
8. 方程x?y?z?2010满足x?y?z的正整数解（x,y,z）的个数是 . 二、解答题（本题满分56分）
329. （16分）已知函数f(x)?ax?bx?cx?d(a?0)，当0?x?1时，f?(x)?1，试求a的最大值.
2和B(x,y)10.（20分）已知抛物线y?6x上的两个动点A(x1,y1)22，其中x1?x2且
x1?x2?4.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求?ABC面积的最大值.
11.（20分）证明：方程2x?5x?2?0恰有一个实数根r，且存在唯一的严格递增正整数数列{an}，使得
1
325?ra1?ra2?ra3??.
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解 答
1. [?3,3] 提示：易知f(x)的定义域是?5,8?，且f(x)在?5,8?上是增函数，从而可知
f(x)的值域为[?3,3].
2. ?32?a?12 提示：令sinx?t，则原函数化为g(t)?(?at2?a?3)t，即
g(t)??at3?(a?3).
2由?at3?(a?3)t??3，?at(t?1)?3(t?1)?0，(t?1)(?at(t?1)?3)?0 及t?1?0 知
?at(t?1)?3?0 即
a(t?t)??3. （1）
2当t?0,?1时（1）总成立；
对0?t?1,0?t2?t?2；对?1?t?0,?14?t?t?0.从而可知 ?232?a?12.
3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑x轴上方的情况，设y?k(k?1,2,?,99)与双曲线右半支于Ak,交直线x?100于Bk，则线段AkBk内部的整点的个数为99?k，从而在x轴上方区域内部整点的个数为
99?(99?k)?99?49?4851.
k?1又x轴上有98个整点，所以所求整点的个数为2?4851?98?9800. 4. 33?3 提示 ：设{an}的公差为d,{bn}的公比为q，则
3?d?q, （1） 3(3?4d)?q， （2）
2（1）代入（2）得9?12d?d?6d?9，求得d?6,q?9. 从而有3?6(n?1)?log一切正整数n都成立.
从而
log??29n?1?? 对一切正整数n都成立，即6n?3?(n?1)log?9?? 对
9?6,?3??log?9??，
2
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求得 ??5. ?33,??3，????33?3.
14 提示：令ax?y,则原函数化为g(y)?y2?3y?2,g(y)在(?32,+?)上是递增的.
当0?a?1时，y?[a,a?1],
g(y)max?a?2?3a?1?2?8?a?1?2?a?12，
所以
1211g(y)min?()?3??2??；
224当a?时，y?[a?1,a]，
g(y)max?a?3a?2?8?a?2，
2所以
g(y)min?2?2?3?2?1?2??14.
综上f(x)在x?[?1,1]上的最小值为?6. 为
712?(512)?214.
2136?7121217 提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为，从而先投掷人的获胜概率
712?(512)?4712???712?1?125144?1217.
7. 104 提示：解法一：如图，以AB所在直线为x轴，线段AB中点O为原点，OC所在
直线为y轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则
B(1,0,0),B1(1,0,2),A1(?1,0,2),P(0,3,1)，从而，
BA1?(?2,0,2),BP?(?1,3,1),B1A1?(?2,0,0),B1P?(?1,3,?1).
设分别与平面BA1P、平面B1A1P垂直的向量是m?(x1,y1,z1)、n?(x2,y2,z2)，则
??m?BA1??2x1?2z1?0, ???m?BP??x1?3y1?z1?0,??n?B1A1??2x2?0, ???n?B1P??x2?3y2?z2?0,B
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2010年全国高中数学联赛试题及答案
