高考数学总复习 8.3 圆的方程限时规范训练 理 新人教A版
【金版教程】2014届高考数学总复习 8.3 圆的方程限时规范训练
理 新人教A版
(时间：45分钟 分值：100分)
一、选择题
1. [2013·长春模拟]已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A. x＋y＝2 C. x＋y＝1 答案：A
解析：圆心为(0,0)，半径为2，应选A项．
2. [2013·吉林模拟]圆x＋y－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则
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B. x＋y＝2 D. x＋y＝4
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a－b的取值范围是( )
A. (－∞，4) C. (－4，＋∞) 答案：A
解析：由题意，得圆心(1，－3)在直线y＝x＋2b上，得b＝－2，由圆成立的条件可得(－2)＋6－4×5a>0，解得a<2，∴a－b<4，故选A.
3. 过点M(1,2)的直线l将圆(x－2)＋y＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线的方程是( )
A. x＝1 C. x－y＋1＝0 答案：D
解析：设圆心为C，当CM⊥l时，圆截l的弦最短，其所对的劣弧最短，又kCM＝－2，1∴kl＝. 2
1
∴直线l的方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.
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4. [2013·安徽淮北模拟]若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A. (x－2)＋(y－1)＝1
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B. (－∞，0) D. (4，＋∞)
B. y＝1 D. x－2y＋3＝0
B. (x－2)＋(y－3)＝1
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C. (x－3)＋(y－2)＝1 答案：A
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D. (x－3)＋(y－1)＝1
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解析：设圆心坐标为(a，b)，由题意知a>0，且b＝1.又∵圆和直线4x－3y＝0相切， ∴
|4a－3|
＝1，即|4a－3|＝5，∵a>0， 5
∴a＝2.
所以圆的方程为(x－2)＋(y－1)＝1.
5. [2013·海淀检测]点P(4，－2)与圆x＋y＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A. (x－2)＋(y＋1)＝1 B. (x－2)＋(y＋1)＝4 C. (x＋4)＋(y－2)＝4 D. (x＋2)＋(y－1)＝1 答案：A
4＋xx＝??2，解析：设圆上任一点为Q(x，y)，PQ的中点为M(x，y)，则?－2＋yy＝，??2
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解得
??x0＝2x－4，
?
?y0＝2y＋2.?
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因为点Q在圆x＋y＝4上，所以x0＋y0＝4，即(2x－4)＋(2y＋2)＝4，即(x－2)＋(y＋1)＝1.
6. [2013·金版原创]若圆O的半径为3，直径AB上一点D使AB＝3AD，E、F为另一直径的两个端点，则DE·DF＝( )
A. －3 C. －6 答案：D
解析：依题意得，DE·DF＝(DO＋OE)·(DO＋OF)＝(DO＋OE)·(DO－OE)＝1－9＝－8，故选D.
二、填空题
7. [2013·东北四校模拟]已知圆C过点A(1,0)和B(3,0)，且圆心在直线y＝x上，则圆C的标准方程为________．
答案：(x－2)＋(y－2)＝5
解析：由题意可设圆心坐标为(a，a)，则圆的标准方程为(x－a)＋(y－a)＝r，
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→→→→B. －4 D. －8
→→→→→→→→→→??∴???
1－a3－a22
＋a＝r＋a＝r2
222
??a＝2
解得?2
?r＝5?
2
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故圆C的标准方程为(x－2)＋(y－2)＝5.
8. 已知圆C的圆心与点M(1，－1)关于直线x－y＋1＝0对称，并且圆C与x－y＋1＝0相切，则圆C的方程为________．
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答案：(x＋2)＋(y－2)＝ 2
解析：所求圆的圆心为(－2,2)，设圆的方程为(x＋2)＋(y－2)＝r(r>0)，则圆心(－32922
2,2)到直线x－y＋1＝0的距离为r，得r＝，故圆C的方程为(x＋2)＋(y－2)＝. 22
9. [2013·温州模拟]若直线2ax＋by－2＝0(a，b为正实数)平分圆x＋y－2x－4y－621
＝0，则＋的最小值是________．
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ab答案：3＋22
2121a2b解析：圆心为(1,2)，代入直线方程得a＋b＝1，则＋＝(＋)(a＋b)＝3＋＋≥3ababba＋22.等号成立的条件为a＝2－2，b＝2－1.
三、解答题
10. 已知圆的方程为(x－m)＋(y＋m－4)＝2. (1)求圆心C的轨迹方程；
(2)当|OC|最小时，求圆C的一般方程(O为坐标原点)．
??x＝m，
解：(1)设C(x，y)，则?
?y＝4－m.?
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消去m，得y＝4－x.
∴圆心C的轨迹方程为x＋y－4＝0.
(2)当|OC|最小时，OC与直线x＋y－4＝0垂直， ∴直线OC的方程为x－y＝0.
??x＋y－4＝0，
由???x－y＝0，
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得x＝y＝2.
即|OC|最小时，圆心的坐标为(2,2)，∴m＝2. 圆C的方程为(x－2)＋(y－2)＝2. 其一般方程为x＋y－4x－4y＋6＝0.
11. [2013·吉林实验中学模拟]已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝410.
(1)求直线CD的方程；
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(2)求圆P的方程．
解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD的方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0.① 又直径|CD|＝410，∴|PA|＝210， ∴(a＋1)＋b＝40.②
??a＝－3，
由①②解得?
??b＝6
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??a＝5，
或???b＝－2.
∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)．
∴圆P的方程为(x＋3)＋(y－6)＝40或(x－5)＋(y＋2)＝40.
12. [2013·绍兴模拟]已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，半径小于5.
(1)求直线PQ与圆C的方程；
(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．
解：(1)直线PQ的方程为：x＋y－2＝0，设圆心C(a，b)，半径为r， 由于线段PQ的垂直平分线的方程是
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y－＝x－，
即y＝x－1，所以b＝a－1.① 又由在y轴上截得的线段长为43， 知(a＋1)＋(b－3)＝12＋a.② 由①②得：a＝1，b＝0或a＝5，b＝4. 当a＝1，b＝0时，r＝13满足题意 当a＝5，b＝4时，r＝37不满足题意， 故圆C的方程为(x－1)＋y＝13. (2)设直线l的方程为y＝－x＋m，
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A(x1，m－x1)，B(x2，m－x2)，
由题意可知OA⊥OB，即kOA·kOB＝－1， ∴
m－x1m－x2
·＝－1. x1x2
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整理得m－m(x1＋x2)＋2x1x2＝0 将y＝－x＋m代入(x－1)＋y＝13
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可得2x－2(m＋1)x＋m－12＝0. ∴x1＋x2＝1＋m，x1x2＝
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m2－12
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，
即m－m·(1＋m)＋m－12＝0，
∴m＝4或m＝－3，∴y＝－x＋4或y＝－x－3.
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