第三章 逻辑代数基础 （Basis of Logic Algebra）
1．知识要点
逻辑代数（Logic Algebra）的公理、定理及其在逻辑代数化简时的作用；逻辑函数的表达形式及相互转换；最小项（Minterm）和最大项（Maxterm）的基本概念和性质；利用卡诺图（Karnaugh Maps）化简逻辑函数的方法。
重点：
1．逻辑代数的公理（Axioms）、定理（Theorems），正负逻辑（Positive Logic, Negative Logic）的概念与对偶关系（Duality Theorems）、反演关系（Complement Theorems）、香农展开定理，及其在逻辑代数化简时的作用； 2．逻辑函数的表达形式：积之和与和之积标准型、真值表（Truth Table）、卡诺图（Karnaugh Maps）、最小逻辑表达式之间的关系及相互转换；
3．最小项（Minterm）和最大项（Maxterm）的基本概念和性质； 4．利用卡诺图化简逻辑函数的方法。 难点：
利用卡诺图对逻辑函数进行化简与运算的方法
（1）正逻辑（Positive Logic）、负逻辑（Negative Logic）的概念以及两者之间的关系。
数字电路中用电压的高低表示逻辑值1和0，将代数中低电压（一般为参考地0V）附近的信号称为低电平，将代数中高电压（一般为电源电压）附近的信号称为高电平。以高电平表示1，低电平表示0，实现的逻辑关系称为正逻辑（Positive Logic），相反，以高电平表示0，低电平表示1，实现的逻辑关系称为负逻辑（Negative Logic），两者之间的逻辑关系为对偶关系。
（2）逻辑函数的标准表达式
积之和标准形式（又称为标准和、最小项和式）：每个与项都是最小项的与或表达式。
和之积标准形式（又称为标准积、最大项积式）：每个或项都是最大项的或与表达式。
逻辑函数的表达形式具有多样性，但标准形式是唯一的，它们和真值表之间有严格的对应关系。 由真值表得到标准和的具体方法是：找出真值表中函数值为1的变量取值组合，每一组变量组合对应一个最小项（变量值为1的对应原变量，变量值为0的对应反变量），将这些最小项相或，即得到标准和表达式。 由真值表得到标准积的具体方法是：找出真值表中函数值为0的变量取值组合，每一组变量组合对应一个最大项（变量值为1的对应反变量，变量值为0的对应原变量），将这些最大项相与，即得到标准积表达式。
每个真值表所对应的标准和与标准积表达方式是唯一的。
（3）利用卡诺图化简逻辑函数
卡诺图是真值表的图形表示，利用卡诺图对逻辑函数进行化简的原理是反复使用公式AB+AB′=A，对应到卡诺图上，即为相邻的小方格可以合并。通常：
2个相邻的方格可以合并，并可消去1个变量；4个相邻的方格可以合并，并可消去2个变量；8个相邻的方格可以合并，并可消去3个变量……
在相邻方格合并的过程中，通常采用画圈的方法进行标记。
利用卡诺图化简，圈1的结果是得到最简和的表达式，圈0的结果是得到最简积的表达式。 利用卡诺图化简的步骤（以最简和为例）： ① 填卡诺图；
② 找出全部质主蕴含项；
③ 找到奇异1单元，圈出对应的质主蕴含项；
④ 若未圈完所有1方格，则从剩余的主蕴含项中找出最简的； ⑤ 写出各圈所对应的与项表达式（取值发生变化的变量不写，取值无变化的变量保留，取值为0写反变量，取值为1写原变量）。
⑥ 将所得到的与项相或，即为化简结果。
化简的原则是：圈1不圈0，1至少圈1次，圈数越少越好，圈越大越好。
（4）利用卡诺图对逻辑函数进行运算
利用卡诺图可以完成逻辑函数的逻辑加（或）、逻辑乘（与）、反演（非）、异或等运算。进行这些运算时，要求参加运算的两个卡诺图具有相同的维数（即变量数相同）。 ① 卡诺图相加
两函数做逻辑加（或）运算时，只需将卡诺图中编号相同的各相应方格中的0、1按逻辑加的规则相或，而得到的卡诺图应包含每个相加卡诺图所出现的全部1项。
② 卡诺图相乘
两函数做逻辑乘（与）运算时，只需将卡诺图中编号相同的各相应方格中的0、1按逻辑乘的规则相与，所得到的卡诺图中的1方格，是参加相乘的卡诺图中都包含的1格。
③ 反演
卡诺图的反演（非），是将函数F的卡诺图中各个为1的方格变换为0，将各个为0的方格变换为1。 ④ 卡诺图异或
两函数做异或运算，只需将卡诺图中编号相同的各相应方格中的0、1按异或运算的规则进行运算，所得到的卡诺图中的1方格，是进行异或运算的卡诺图中取值不同的方格。
2．Exercises
Prove theorems (X+Y)(X+Z) = X+Y·Z using perfect induction.
If X = 0, Left = (0+Y)(0+Z) = Y·Z
Right = 0+ Y·Z = Y·Z
∴ Left = Right
If X = 1, Left = (1+Y)(1+Z) = 1·1 = 1 Right = 1+ Y·Z = 1 ∴ Left = Right
According to DeMorgan’s theorem, the complement of WX+YZ is W′+X′Y′+Z′. Yet both functions are 1 for WXYZ = 1110. How can both a function and its complement be 1 for the same input combination What’s wrong here
The mistake is that the original operation priority has been changed. The complement of WX+YZ should be (W′+X′)(Y′+Z′)
Use the theorems of switching algebra to simplify each of the following logic functions: (1) F = WXYZ(WXYZ′+WX′YZ+W′XYZ+WXY′Z) (2) F = AB+ABC′D+ABDE′+ A′BC′E+A′B′C′E (3) F = MRP+ QO′R′+MN+ONM+QPMO′
(1) F = W·X·Y·Z·(W·X·Y·Z'+W·X'·Y·Z+W'·X·Y·Z+W·X·Y'·Z)
= W·X·Y·Z·W·X·Y·Z'+ W·X·Y·Z·W·X'·Y·Z+ W·X·Y·Z·W'·X·Y·Z+ W·X·Y·Z·W·X·Y'·Z = 0 (2) F = A·B·(1+C'·D+D·E') + A'·C'·E·(B+B') = A·B + A'·C'·E
(3) F = M·R·P + Q·O'·R' + M·N + Q·P·M·O' = M·P·R + Q·O'·R' + M·P·Q·O' + M·N = M·P·R + Q·O'·R' + M·N
Write the truth table for each of the following logic functions: (1) F = AB′+B′C+CD′+CA′ (2) F = (A′+B+C′)(A′+B′+D)(B+C+D′)(A+B+C+D) (3) F = AB+AB′C′+A′BC (4) F = XY′+YZ+Z′X (1) A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 F 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 (2) A B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 F 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 (3) A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 F 0 0 0 1 1 0 1 1 (4) X 0 0 0 0 1 1 1 1 Y 0 0 1 1 0 0 1 1 Z 0 1 0 1 0 1 0 1 F 0 0 0 1 1 1 1 1
Write the canonical sum and product for each of the following logic functions:
?(3) F =?(1) F
X,Y(1,2) (1,2,5,6)
(2) F =
?A,B(0,1,2)
A,B,C,D(4) F = A′B+B′C+A
(1) F = ∑X,Y (1,2) = X'·Y+X·Y'
= ∏X,Y (0,3) = (X+Y)·(X'+Y')
(标准和) (标准积)
(标准积) (标准和)
(2) F = ∏A,B (0,1,2) = (A+B)·(A+B')·(A'+B)
= ∑A,B (3) = A·B
(3) F = ∑A,B,C,D (1,2,5,6) = A'·B'·C'·D + A'·B'·C·D' + A'·B·C'·D + A'·B·C·D' (标准和)
= ∏A,B,C,D (0,3,4,7,8,9,10,11,12,13,14,15)
= (A+B+C+D)·(A+B+C'+D')·(A+B'+C+D)·(A+B'+C'+D')·(A'+B+C+D)·(A'+B+C+D')·(A'+B+C'+D) (A'+B+C'+D')·(A'+B'+C+D)·(A'+B'+C+D')·(A'+B'+C'+D)·(A'+B'+C'+D') (标准积)
(4) F = A'·B+B'·C+A = A'·B·(C+C')+(A+A')·B'·C+A·(B+B')·(C+C')
= A'·B·C+A'·B·C'+A·B'·C+A'·B'·C+A·B·C+A·B·C'+A·B'·C+A·B'·C'
= A'·B·C+A'·B·C'+A·B'·C+A'·B'C+A·B·C+A·B·C'+A·B'C' F = A'·B+B'·C+A = A+B+C
If the canonical sum for an n-input logic function is also a minimal sum, how many literals are in each product term of the sum Might there be any other minimal sums in this case
(标准积)
(标准和)
若某函数的标准和也是最小和，说明其卡诺图中的1都不相邻，无法合并。 此时，标准和 = 最小和 = 完全和，其和式中的乘积项必有n个变量，无法化简。
Using Karnaugh maps, find a minimal sum-of-products expression for each of the following logic functions. Indicate the distinguished 1-cells in each map.
?(3) F =?(1) F = (1)
F =
XY Z 0 1 X,Y,Z(1,3,5,6,7)
W,X,Y,Z(1,4,5,6,11,12,13,14)
? (4) F =? (2) F =
A,B,C,DA,B,C(4,5,6,13,15)
(1,2,6,7)
? 1 X,Y,Z(1,3,5,6,7)
11 1 1 10 1 00 01 1
F = X·Y+Z （图中灰色块为奇异1单元） (2)
F =
AB ?A,B,C,D(4,5,6,13,15)
11 0 0 10 00 CD 00 01 11 10 01 0 0 0 F = B+ A·D'+A'·C·D （图中灰色块为奇异1单元） (3)
F = (4)
F =
AB C 0 1 ?W,X,Y,Z(1,4,5,6,11,12,13,14)
01 1 1 1 11 1 1 1 10 1 WX 00 YZ 00 01 11 10 1 F = XY’+XZ’+W’Y’Z+WX’YZ （图中灰色块为奇异1单元）
? 00 0 A,B,C(1,2,6,7)
11 0 0 10 01 0
F = AB’+B’C’+A’BC （图中灰色块为奇异1单元）
Prove that (X+Y) (X′+Z) = XZ + X′Y without using perfect induction.
Show that an n-input AND gate can be replaced by n1 2-input AND gates. Can the same statement be made for NAND gates Justify your answer.
(1) 证明与门的情况 考察：
2输入与门表达式：F2 = In1 · In2 （共1个2输入与门） 3输入与门表达式：F3 = In1 · In2 · In3 = F2 · In3 （共2个2输入与门） 则n输入与门表达式： Fn = In1 · In2 · In3 · ... Inn = Fn-1 · Inn （比Fn-1增加1个2输入与门） ∴ n输入与门可以用n-1个2输入与门来实现。
(2) 证明与非门的情况
考察三输入与非门的实现：
用一个3输入与非门实现：F3 = (In1 · In2 · In3)' = (In1 · In2 )' + In3' 用2个2输入与非门实现：G3 = ((In1 · In2) ' · In3) ' = In1 · In2 + In3' ∵ F3 ≠G3
∴ n输入与非门不可以用n-1个2输入与非门来实现。
Rewrite the following expression using as few inversions as possible (complemented parentheses are allowed):
B′C + ACD′ A′+C + EB′+ E(A+C)(A′ +D′)
Prove or disprove the following propositions:
(1) Let A and B be switching-algebra variables. Then AB = 0 and A+B= 1 implies that A = B′. (2) Let X and Y be switching-algebra expressions. Then XY = 0 and X+Y = 1 implies that X = Y′. (1)
(2)
What is the logic function of a 2-input XNOR gate whose inputs are tied together How might the output
逻辑代数基础 作业题(参考答案)
