2024新高考版大一轮复习用书数学第三章 检测三

检测三　导数及其应用

(时间：120分钟 满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．(2024·山东实验中学月考)已知函数f (x)＝1

x

，则f′(－2)等于(　　)

A．4 B.11

4 C．－4 D．－

4答案　D

解析　f′(x)＝－1

1

x2，f′(－2)＝－4.

2．曲线y＝x＋1

x－1在点(0，－1)处的切线方程为(　　)

A．y＝－2x－1 B．y＝2x－1C．y＝－2x＋1 D．y＝2x＋1

答案　A

解析　由y＝x＋1x－1－?x＋1?

2x－1，可得y′＝?x－1?2＝－?x－1?2，所以曲线在点(0，－1)处的切线的斜率为k＝－2，所以曲线y＝x＋1

x－1

在点(0，－1)处的切线方程为y＝－2x－1.

3．若关于x的不等式x3－3x＋3＋a≤0在x∈[－2,3]上恒成立，则实数a的最大值为(　　A．1 B．－1C．－5 D．－21答案　D

解析　若关于x的不等式x3－3x＋3＋a≤0在x∈[－2,3]上恒成立，则a≤－x3＋3x－3在x∈[－2,3]上恒成立，令f (x)＝－x3＋3x－3，x∈[－2,3]，则f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)，令f′(x)>0，解得－1

令f′(x)<0，解得－2≤x<－1或1

故f (x)在[－2，－1)上单调递减，在(－1,1)上单调递增，在(1,3]上单调递减，而f (－2)＝－1，f (－1)＝－5，f (1)＝－1，f (3)＝－21，

)故a≤－21，故a的最大值是－21.

4．(2024·岳阳调研)已知函数f (x)＝(x2＋a2x＋1)ex，则“a＝2”是“函数f (x)在x＝－1处取得极小值”的(　　)A．充分不必要条件 C．充要条件 答案　A

解析　若f (x)在x＝－1处取得极小值，f′(x)＝[x2＋(a2＋2)x＋a2＋1]ex＝(x＋1)(x＋a2＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝－a2－1.①若a＝0，f′(x)＝(x＋1)2ex≥0.故f (x)在R上单调递增，f (x)无极小值；②若a≠0，－a2－1<－1，

故当x<－a2－1时，f′(x)>0，f (x)单调递增，当－a2－1－1时，f′(x)>0，f (x)单调递增．故f (x)在x＝－1处取得极小值．

综上，函数f (x)在x＝－1处取得极小值?a≠0.

∴“a＝2”是“函数f (x)在x＝－1处取得极小值”的充分不必要条件．故选A.

5．若函数f (x)＝ax－x3在[1,3]上单调递增，则a的取值范围为(　　)A．(－∞，3] C．[3，＋∞) 答案　D

解析　当a≤0时，f (x)＝ax－x3在[1,3]上单调递减，不符合题意，故a>0.其图象如图，

B．(－∞，27]D．[27，＋∞)B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

令f′(x)＝a－3x2＝0，解得x＝±

a3

，所以极值点的横坐标为±

a3

，

又因为函数f (x)＝ax－x3在[1,3]上单调递增， 所以

a3

≥3，解得a≥27.

6．已知函数f (x)＝sin 2x＋2cos x(0≤x≤π)，则f (x)(　　)A．在0，

3π5π

C．在，上单调递减

66答案　C

解析　f′(x)＝2cos 2x－2sin x＝－2(2sin2x＋sin x－1)>0?(2sin x－1)(sin x＋1)<0,0≤x≤π，1π5π

故－1

266π5π

故f (x)在0，和，π上单调递增，

66

π5π

在，上单调递减，故选C.66

[][]π

上单调递增

上单调递减6π2π

D．在，上单调递增

63

B．在0，

[][]π

()()()()[]])7．(2024·张家口调研)已知函数f (x)＝x3－mx2＋2nx＋1，f′(x)是函数f (x)的导数，且函数f′(x)2

的图象关于直线x＝对称，若f (x)≥1在[1，π]上恒成立，则实数n的取值范围为(　　)

3

11

A.－∞， B.－∞，－

22

1

C.，＋∞ D．[π，＋∞)2

([()答案　C

解析　依题意可得f′(x)＝3x2－2mx＋2n，2

因为f′(x)的图象关于直线x＝对称，

3

－2m2所以－＝，

63解得m＝2，故f (x)＝x3－2x2＋2nx＋1，因为f (x)≥1在[1，π]上恒成立，

1

所以n≥－(x2－2x)在[1，π]上恒成立，

2

1

因为函数g(x)＝－(x2－2x)在[1，π]上单调递减，

2

1

所以函数g(x)在[1，π]上的最大值为，2

1

所以n≥，

2

1

故实数n的取值范围为，＋∞.

2

[)8．(2024·深圳联考)定义在R上的函数f (x)的图象是连续不断的曲线，且f (x)＝f (－x)e2x，当x>0时，f′(x)>f (x)恒成立，则下列判断一定正确的是(　　)A．e5f (2)f (3) 答案　B

f ?x?

解析　构造函数g(x)＝x，因为f (x)＝f (－x)e2x，

e

f ?x?

所以f (－x)＝2x，

ef ?x?

f ?－x?e2xf ?x?

则g(－x)＝－x＝－x＝x＝g(x)，

eee所以g(x)为偶函数．

f′?x?－f ?x?

当x>0时，g′(x)＝>0，

ex所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以有g(3)>g(2)，则g(－3)>g(2)，即e5f (－3)>f (2)．故选B.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9.已知函数f (x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列说法错误的是(　　)

B．f (2)

A．x＝－3为f (x)的极大值点B．x＝1为f (x)的极大值点C．x＝－1.5为f (x)的极大值点D．x＝2.5为f (x)的极小值点

答案　ACD

解析　由导函数的图象可知，f′(1)＝0，当x∈(－3,1)时，f′(x)>0，函数是增函数，当x∈(1,2.5)时，f′(x)<0，函数f (x)是减函数，所以x＝1为f (x)的极大值点．10．已知函数f (x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列叙述正确的是(　　)

A．函数f (x)在(－∞，－4)上单调递减B．函数f (x)在x＝2处取得极大值C．函数f (x)在x＝－4处取得极值D．函数f (x)只有一个极值点答案　BD

解析　由导函数的图象可得，当x≤2时，f′(x)≥0，函数f (x)单调递增；当x>2时，f′(x)<0，函数f (x)单调递减．

所以函数f (x)在(－∞，－4)上单调递增，故A错误．当x＝2时，函数取得极大值，故B正确；当x＝－4时，函数无极值，故C错误．

只有当x＝2时，函数取得极大值，故D正确．故选BD.

11．已知函数f (x)＝(x2－2x)ex，关于f (x)的性质，以下四个结论中正确的是(　　A．f (x)的定义域是(－∞，＋∞)B．函数f (x)在区间(0,2)上是增函数C．f (x)是奇函数

D．函数f (x)在x＝2处取得最小值答案　AD

解析　根据题意可得，函数f (x)的定义域为(－∞，＋∞)，所以A正确；因为f′(x)＝(2x－2)ex＋(x2－2x)ex＝(x2－2)ex，当－2

所以函数f (x)在(－2，2)上单调递减；当x<－2或x>2时，f′(x)>0，

)