（2）若过点D（3，6）的直线l2被圆N所截的弦长为【考点】J9：直线与圆的位置关系．
，求直线l2的斜率．
【分析】（1）求出圆心坐标、圆的半径，利用直线l1∥l，且与圆N相切，求直线l1的方程； （2）若过点D（3，6）的直线l2被圆N所截的弦长为
，即可求直线l2的斜率．
【解答】解：（1）∵圆N与y轴切于点（0，4），
∴圆心N的坐标为直线y=4与直线3x﹣4y+7=0的交点坐标， 由
则圆N的半径为3﹣0=3， 设直线l1的方程为3x﹣4y+b=0， 则
，解得b=﹣8或22，
，得圆心N的坐标为（3，4），
，得
∴直线l1的方程为：3x﹣4y﹣8=0或3x﹣4y+22=0． （2）设直线l2：y﹣6=k（x﹣3），
由（1）得圆N的方程为（x﹣3）+（y﹣4）=9． 圆心N到直线l2的距离
，直线l2被圆N所截的弦长为
，
2
2
得
19．已知函数
，化简得1+k=4，即
2
．
（a，b∈R），f′（0）=f′（2）=1．
（1）求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣4x，x∈，求g（x）的单调区间和最小值．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）求出函数的导数，根据f′（0）=f′（2）=1，得到关于a，b的方程组，解出即可求出f（x）的解析式，从而求出切线方程即可；
（2）求出g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．
【解答】解：（1）因为f′（x）=x2﹣2ax+b，
由f′（0）=f′（2）=1即则f（x）的解析式为
所以所求切线方程为4x﹣y﹣9=0． （2）由（1）f（x）=∴
x3﹣x2+x，
，得，
，即有f（3）=3，f′（3）=4
，∴g′（x）=x2﹣2x﹣3，
由g′（x）=x2﹣2x﹣3＞0，得x＜﹣1或x＞3， 由g′（x）=x﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3， ∵x∈，
∴g（x）的单调增区间为，减区间为（﹣1，2]， ∵
∴g（x）的最小值为﹣9．
20．如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB=PD=DA=2PE，CD=3PE，F是CE的中点． （1）求证：BF∥平面ADP； （2）求二面角B﹣DF﹣P的余弦值．
，
2
【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．
【分析】（1）取PD中点G，连结GF，AG，推导出四边形ABFG是平行四边形，从而AG∥BF，进而能证明BF∥平面ADP．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣DF﹣P的余弦值．
【解答】证明：（1）取PD中点G，连结GF，AG，
∵AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB=PD=DA=2PE，CD=3PE，F是CE的中点， ∴FG
AB，∴四边形ABFG是平行四边形，∴AG∥BF，
∵AG?平面ADP，BF?平面ADP，∴BF∥平面ADP．
解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
设PE=1，则B（2，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2），C（0，3，0），E（0，1，2），F（0，2，1），
=（2，2，0），设平面BDF的法向量则
设平面PDF的法向量则
设二面角B﹣DF﹣P的平面角为θ， 则cosθ=
=
=
．
=（0，2，1），=（x，y，z），
，取x=1，得
=（a，b，c），
，取a=1，则
=（1，﹣1，0）， =（1，﹣1，2），
=（0，0，2），
∴二面角B﹣DF﹣P的余弦值为．
21．已知过抛物线C：x=2py（p＞0）的焦点F且斜率为交点为P，且|PF|=5． （1）求抛物线C的方程；
（2）过F且斜率不为0直线l交抛物线C于M，N两点，抛物线C的准线与x轴交于点K，点A与点N关于y轴对称，求证：K，A，M三点共线．
2
的直线与抛物线C在第一象限的
【考点】K8：抛物线的简单性质． 【分析】（1）由题意可知：
即可求得p的值，求得抛物线方程；
（2）设直线l的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及直线的斜率求得k1+k2=0，则K，A，M三点共线．
【解答】解：（1）设P（x0，y0），过P作PA⊥y轴于A， ∵直线PF的斜率为
，则
， ，得p=2
，
，求得|PA|=3，根据抛物线的定义，
∵|PF|=5，则|PA|=3，则由抛物线的定义得∴抛物线方程为x=4y．
2
（2）证明：由（1）得F（0，1），K（0，﹣1），设直线l的方程为y=kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2），
∵k≠0，∴A与M不重合， 由
，得x2﹣4kx﹣4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4，
设直线KM和KN的斜率分别为k1，k2， ∵
∴直线KMG与KN关于y轴对称， ∴K，A，M三点共线．
22．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣
，其中a∈R
（1）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间； （2）若存在x0∈，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）先求函数h（x）的定义域，求出函数h（x）的导数，从而讨论判断函数的单调性；（2）分类讨论函数的单调性，从而化存在性问题为最值问题，从而解得． 【解答】解：（1）函数h（x）=x﹣alnx+h′（x）=1﹣
﹣
=
的定义域为（0，+∞），
，
①当1+a≤0，即a≤﹣1时， h′（x）＞0，
故h（x）在（0，+∞）上是增函数； ②当1+a＞0，即a＞﹣1时，
x∈（0，1+a）时，h′（x）＜0；x∈（1+a，+∞）时，h′（x）＞0； 故h（x）在（0，1+a）上是减函数，在（1+a，+∞）上是增函数； （2）由（1）令h（x0）=f（x0）﹣g（x0），x0∈， ①当a≤﹣1时，
存在x0∈（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为 h（1）=1+1+a＜0， 解得，a＜﹣2； ②当﹣1＜a≤0时，
存在x0∈（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为 h（1）=1+1+a＜0，解得，a＜﹣2； ③当0＜a≤e﹣1时，
存在x0∈（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为 h（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，无解； ④当e﹣1＜a时，
存在x0∈（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为 h（e）=e﹣a+解得，a＞综上所述，
a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（
，+∞）．
＜0， ；
2017年7月11日
山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学联考2019-2020学年高二下学期3月月考数学试卷（理科）
