∴函数g（x）在上的图象与直线y=1的交点的横坐标之和故选C． 10．“a≥3
，
cosθdθ”是“直线l：2ax﹣y+2a2=0（a＞0）与双曲线C：﹣
=1的右支无交点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】先根据定积分的计算求出a的范围，再根据直线和双曲线的位置关系求出a的范围，根据充分必要的条件的定义即可判断． 【解答】解：3
cosθdθ=3sinθ|
=3sin
=
，
则不等式a≥3cosθdθ等价为a≥，
直线l：2ax﹣y+2a2=0（a＞0）斜截式方程为l：y=2ax+2a2（a＞0）， 双曲线C：
﹣
=1的渐近线方程为y=±
x，
∵2ax﹣y+2a2=0（a＞0）与双曲线C：﹣=1的右支无交点，
∴直线l的斜率不小于双曲线C的渐近线y=∴2a≥
，
x的斜率，
解得a≥1， ∴a≥3
cosθdθ”是“直线l：2ax﹣y+2a=0（a＞0）与双曲线C：
2
﹣=1
的右支无交点”充分不必要条件， 故选：A．
11．已知直线l：ax+y+b=0与圆O：x+y=4相交于A、B两点，
，则
A．﹣3 B．﹣4 C．3
D．4
等于（ ）
22
，且
【考点】J9：直线与圆的位置关系．
【分析】由题意，可得直线l与直线OM垂直，且圆心O到直线l的距离为求出a，b，即可得出结论． 【解答】解：∵的距离为
，
，∴直线l与直线OM垂直，且圆心O到直线l
，建立方程，
即，解得，则．
故选B．
12．已知函数f（x）=ex（x﹣b）（b∈R）．若存在x∈[则实数b的取值范围是（ ） A．（﹣∞，
） B．（﹣∞，
） C．（﹣
，
） D．（
，+∞）
，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】求出f′（x），问题转化为b＜=
，x∈[
，2]，求出b的范围即可．
在[
，2]恒成立，令g（x）
【解答】解：∵f（x）=ex（x﹣b）， ∴f′（x）=e（x﹣b+1）， 若存在x∈[则若存在x∈[即存在x∈[令g（x）=
，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，
，2]，使得ex（x﹣b）+xex（x﹣b+1）＞0， ，2]，使得b＜
，x∈[
，2]，
成立，
x
则g′（x）=＞0，
g（x）在[，2]递增，
，
∴g（x）最大值=g（2）=故b＜故选：A
，
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．设，若，则a= 3 ．
【考点】3T：函数的值． 【分析】分别令【解答】解：由由log9a=
，解得：a=3，
==
，log9x=
，求出x的值即可．
（舍），
，得：2a﹣4=﹣1，解得：a=
故答案为：3．
14．已知θ的终边过点（2，a），且【考点】G9：任意角的三角函数的定义．
【分析】先求出tanθ=﹣2，再利用θ的终边过点（2，a），即可求出a的值． 【解答】解：由题意，∵θ的终边过点（2，a）， ∴
=﹣2，∴a=﹣4．
=﹣3，∴tanθ=﹣2，
，则a= ﹣4 ．
故答案为﹣4．
15．若在区间上任取一个数b，则函数f（x）=x﹣blnx（x＞3）在定义域上是单调函数的概
率为 ．
【考点】CF：几何概型．
【分析】由题意，本题属于几何概型的概率求法，由此只要求出所有事件的区域长度以及满足条件的b的范围对应的区域长度，利用几何概型概率公式可求． 【解答】解：∵f（x）=x﹣blnx， ∴f′（x）=1﹣∵x＞3，∴b≤3，
∴在区间上任取一个数b，函数f（x）=x﹣blnx（x＞3）在定义域上是单调函数的概率为
=
故答案为
16．已知椭圆
（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
， ．
≥0，可得b≤x，
过点F2且斜率为椭圆的离心率为
的直线l交直线2bx+ay=0于M，若M在以线段F1F2为直径的圆上，则 ．
【考点】K4：椭圆的简单性质． 【分析】由已知得出过点F2且斜率为
的直线l的方程，与2bx+ay=0联立即可解得交点
M的坐标，代入以线段F1F2为直径的圆的方程，得到a，b的关系，再由a，b，c的关系，可得a，c的关系，运用离心率公式即可得出离心率e． 【解答】解：设过点F2且斜率为与2bx+ay=0联立， 可得交点M（
，﹣
），
2
2
2
的直线l的方程为y=（x﹣c），
∵点M在以线段F1F2为直径的圆：x+y=c上， ∴（∴b=
）2+（﹣a，
）2=c2，
∴c=∴e=
=
． ．
=a，
故答案为：
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且2asinB﹣（1）求cosA； （2）若a=
，b=2，求△ABC的面积．
bcosA=0．
【考点】HR：余弦定理．
【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0确定出tanA的值，进而求出cosA的值；
（2）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再利用正弦定理求出sinB的值，进而求出cosB的值，确定出sinA=cosB，cosA=sinB，即C为直角，确定出三角形面积即可．
【解答】解：（1）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c， 将等式2asinB﹣∵sinB≠0，∴2sinA﹣
bcosA=0，利用正弦定理化简得：2sinAsinB﹣
cosA=0，即tanA=
，
sinBcosA=0，
则cosA==；
（2）∵cosA=∵a=
，∴sinA=，
，b=2，
=
，cosB=，
，
∴由正弦定理得：sinB=
∴sinA=cosB，cosA=sinB，即A+B=C=则S△ABC=
×
×2=
．
18．已知圆N的圆心在直线l：3x﹣4y+7=0，且圆N与y轴切于点（0，4）． （1）直线l1∥l，且与圆N相切，求直线l1的方程；
山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学联考2019-2020学年高二下学期3月月考数学试卷（理科）
