导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用
【自主归纳，自我查验】
一、自主归纳
1．利用导函数判断函数单调性问题
函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)若____ ___，则f(x)在这个区间上是增加的． (2)若____ ___，则f(x)在这个区间上是减少的． (3)若_____ __，则f(x)在这个区间内是常数． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f′(x)．
(2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0. (3)根据结果确定f(x)的单调区间． 3．函数的极大值
在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都_____x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值． 4．函数的极小值
在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都_____x0点的函数值，称点x0x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为_______，极大值点与极小值点统称为极值点． 5．函数的最值与导数
1．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_________f(x0)．
2．函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_________f(x0)．
二、自我查验
1．函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为( ) A．(0，＋∞)
B．(－∞，0) C．(－∞，0)和(0，＋∞)
D．R
2．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________．
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导数在研究函数中的应用
3.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f ′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( ) A．1个 B．2个 C．3个
D．4个
4．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5
5.函数y?lnxx的最大值为（ ） A．e?1
B．e C．e2 D．
103 【典型例题】
考点一 利用导数研究函数的单调性
【例1】(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
【变式训练1】已知f?x??x3?ax2?a2x?2．
（1）若a?1时，求曲线y?f?x?在点?1,f?1??处的切线方程； （2）若a?0，求函数f?x?的单调区间．
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导数在研究函数中的应用
考点二 利用导函数研究函数极值问题
【例2】已知函数f?x??lnx?ax?3,a?R. （1）当a?1时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间.
【变式训练2】(2011·安徽)设f(x)＝ex4
1＋ax2，其中a为正实数.当a＝3时，求f(x)的极值点；
考点三 利用导函数求函数最值问题
【例3】已知a为实数，f?x??(x2?4)(x?a).
（1）求导数f??x?； （2）若f???1??0，求f?x?在??2,2?上的最大值和最小值.
【应用体验】
1.函数y?x?lnx的单调递减区间为（ ） A．??1,1? B．?0,??? C．?1,??? D．?0,1?
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(完整版)导数在研究函数中的应用(含标准答案)
