第14周题库课参考内容
第二型曲面积分，Gauss-Stokes公式
一、向量场沿定向曲面的积分（第二型曲面积分）
提要：向量场沿定向曲面的积分的两种表达形式
设F?(P,Q,R)为空间区域?上的连续向量场，S为?中定向曲面，则规定 （1）
??F?dS???F?ndS， （向量形式）
SS其中dS?ndS称为有向曲面微元。再记S的单位法向量
n?(cos?,cos?,cos?)，
其中?,?,?分别为n与x,y,z轴正向的夹角。这时 cos?dS,cos?dS,cos?dS分别是dS在yz平面，zx平面，xy平面上的投影，因此有
cos?dS??dydz,cos?dS??dzdx,cos?dS??dxdy
其中符号?依赖于?,?,?是否小于直角——小于直角取正号，大于直角取负号。通常记
ndS?(cos?,cos?,cos?)dS?(dydz,dzdx,dxdy)；（dS在各坐标平面带符号的投影） 这样（1）又可以表达为 （2）
1. 设S为球面x2?y2?z2?4在第一卦限中、不与坐标平面相交的一部分的外侧，面积为A，又设向量场F?(,??F?dS???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy。 （直角坐标形式）
SS111,)，求 ??F?dS． xyzS解：注意S的单位外法向量n?(x,y,z)，根据向量场沿定向曲面积分的定义， 211133F?dS?(,,)?ndS?dS?A。 ??????xyz2S2SS 2. I?2222444，的内侧。 ?:x?y?z?axdydz?ydzdx?zdxdy???444解：法一：考虑被积函数向量场F?(x,y,z)，曲面?的单位法向 n??(x,y,z)， a 原式 =
??F?ndS???1(x5?y5?z5)dS?0 ??a?模板资料 资源共享
——积分的曲面关于x-y-z都对称，被积函数分别是x, y或者z的奇函数。
法二：单独考察
4z??dxdy，曲面???????分成上下两部分，投影到x-y平面 ?得到同一个平面区域D，但两部分法向与z轴正向夹角恰好相反，因此
44444zdxdy?zdxdy?zdxdy??zdxdy?z??????????dxdy?0 ?????DD同理分析其余2项得到：原式=0。
法三：利用球坐标参数表示来计算，略…… 3. I?22222，外侧。 ?:x?y?z?axzdydz?yzdzdx?xdxdy???解：法一：考虑被积函数向量场F?(xz,yz,x2)，曲面?单位法向n? I?(x,y,z)， a??F?ndS??1122222(xz?yz?xz)dS?(2x?y)zdS?0 ??a??a??——积分的曲面关于z=0对称，而被积函数是z的奇函数。
法二：利用球坐标参数表示曲面?:x?asin?cos?,y?asin?sin?,z?acos?，
则A?a2sin2?cos?,B?a2sin2?sin?,C?a2sin?cos?,
I?? 4. I?0????0???2?2(xzA?yzB?xC)d?d? ??0????0???2?432asin?cos?(1?cos?)d?d??0。 ????f(x)dydz?g(y)dzdx?h(z)dxdy，
??为长方体[0,a]?[0,b]?[0,c]的边界外侧。
解：?由6个平面构成，单位法向量分别为：
x?0：n?(?1,0,0)，x?a：n?(1,0,0)，
y?0：n?(0,?1,0)，y?b：n?(0,1,0)，
z?0：n?(0,0,?1)，z?c：n?(0,0,1)，
所以
??f(x)dydz???f(a)dydz???f(0)dydz?bc[f(a)?f(0)]，
?0?y?b0?z?c0?y?b0?z?c??g(y)dzdx???g(b)dxdz???g(0)dxdz?ac[g(b)?g(0)]，
?0?x?a0?z?c0?x?a0?z?c??h(z)dxdy???h(c)dxdy???h(0)dxdy?ab[h(c)?h(0)]，
?0?x?a0?y?b0?x?a0?y?bI?bc[f(a)?f(0)]?ca[g(b)?g(0)]?ab[h(c)?h(0)]。
模板资料 资源共享
5．求v?xi?yj?zk穿过S：z2?x2?y2?0?z?h? 的流量Q。 解：S的单位法向n??(x,y,?z)2z，穿过S的流量（正负号决定从哪个方向穿过）
x2?y2?z2 Q???v?dS???v?ndS??dS?0。 ??z2SSS1
二、Gauss公式应用
提要：Gauss公式（散度定理）的两种表达形式
设F?(P,Q,R)为有界空间区域?上的C向量场，??为分片光滑的边界曲面的外侧，则 （1）
1?????FdV???F?ndS。 （向量形式）
???进一步利用曲面积分的直角坐标形式，（1）又可以写成 （2）
???(??P?Q?R??)dxdydz???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy。 （直角坐标形式） ?x?y?z??
1． 证明空间中的分部积分公式：设?为空间有界闭区域，其边界??为光滑闭曲面，则
?fdV???f(x,y,z)cos?dS， ????x????f?g（2） ???gdV???fgcos?dS????fdV，
?x?x????（1）
其中(cos?,cos?,cos?)?n为边界曲面的单位外法向，f,g?C(?)。 解：利用Gauss公式 （1）和（2）
1???(??P?Q?R??)dV???(P,Q,R)?ndS， ?x?y?z?? （1）取P?f,Q?R?0，…… （2）取P?fg,Q?R?0，……
2222．设f(x,y,z)为单位球x?y?z?1上的C函数，求证
1
2x?y?z?1??2fdS?322x?y?z?1???2fdV?22x?y2?z2?1???(x?f?f?f?y?z)dV。 ?x?y?z模板资料 资源共享
资料：第14周习题课参考内容 - 副本_288206573
