2024年最新
?2??n?1(n?1)?n?1(n?1)?n?2?n?n?1??2Tn???．
(1??)21??(1??)2(n?1)?n?2?n?n?1??2n?1?2?2． 这时数列?an?的前n项和Sn?2(1??)当??1时，Tn?n(n?1)n(n?1)n?1．这时数列?an?的前n项和Sn??2?2． 22（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列??an?1?a2的第一项最大，下面证明： ?a1?an?an?1a2?2?4??,n≥2． ③ ana122由??0知an?0，要使③式成立，只要2an?1?(??4)an(n≥2)， 22n2n因为(??4)an?(??4)(n?1)??(??1)2
?4?·(n?1)?n?4?2n?4(n?1)?n?1?2n?2
≥2n?n?1?2n?2?2an?1，n≥2．
所以③式成立． 因此，存在k?1，使得
an?1aa≤k?1?2对任意n?N?均成立． anaka122．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，
考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．
0)，F2(c，0)，不妨设点A(c，y)，其中（Ⅰ）证法一：由题设AF2?F1F2及F1(?c，c2y2a2?b2y2?2?1． y?0．由于点A在椭圆上，有2?2?1，即2abab?b2?b2解得y?，从而得到A?c，?．
a?a?b2(x?c)，整理得b2x?2acy?b2c?0． 直线AF1的方程为y?2ac1cb2c由题设，原点O到直线AF1的距离为OF1，即?，
42233b?4ac将c?a?b代入上式并化简得a?2b，即a?222222b．
2024年最新
2024年最新
?b2?
证法二：同证法一，得到点A的坐标为?c，?．
?a?
过点O作OB?AF1，垂足为B，易知△F1BO∽△F1F2A，故由椭圆定义得AF1?AF2?2a，又BO?所以
BOOF1?F2AF1A．
1OF1， 3F2A1F2A， ??3F1A2a?F2Ay B F1 O A F2 x b2b2aa?，即a?2b． 解得F2A?，而F2A?，得
aa22（Ⅱ）解法一：设点D的坐标为(x0，y0)．
当y0?0时，由OD?Q1Q2知，直线Q1Q2的斜率为?x0，所以直线Q1Q2的方程为y02x0x0x0y??(x?x0)?y0，或y?kx?m，其中k??，m?y0?．
y0y0y0点Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)的坐标满足方程组?将①式代入②式，得x?2(kx?m)?2b， 整理得(1?2k)x?4kmx?2m?2b?0，
2222222?y?kx?m，222?x?2y?2b．
2m2?2b4km于是x1?x2??，x1x2?．
1?2k21?2k222由①式得y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?k
2m2?2b2?4kmm2?2b2k22?k·?km·?m?．
1?2k21?2k1?2k223m2?2b2?2b2k2?0， 由OQ1?OQ2知x1x2?y1y2?0．将③式和④式代入得21?2k3m2?2b2(1?k2)．
2x0x02222将k??，m?y0?代入上式，整理得x0?y0?b．
3y0y02024年最新
2024年最新
当y0?0时，直线Q1Q2的方程为x?x0，Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)的坐标满足方程组
?x?x0， ?222?x?2y?2b．22b2?x0所以x1?x2?x0，y1，． 2??222b2?x0?0， 由OQ1?OQ2知x1x2?y1y2?0，即x?220解得x0?222b． 32222b． 32222综上，点D的轨迹方程为 x?y?b．
3这时，点D的坐标仍满足x0?y0?解法二：设点D的坐标为(x0，y0)，直线OD的方程为y0x?x0y?0，由OD?Q1Q2，
22垂足为D，可知直线Q1Q2的方程为x0x?y0y?x0?y0．
22记m?x0?y0（显然m?0），点Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)的坐标满足方程组
??x0x?y0y?m， ① ?222??x?2y?2b． ②由①式得y0y?m?x0x． ③
222222由②式得y0x?2y0y?2y0b． ④ 22222将③式代入④式得y0x?2(m?x0x)?2y0b． 222222整理得(2x0?y0)x?4mx0x?2m?2by0?0，
22m2?2b2y0于是x1x2?． ⑤ 222x0?y0由①式得x0x?m?y0y． ⑥
222222由②式得x0x?2x0y?2x0b． ⑦ 22222将⑥式代入⑦式得(m?y0y)?2x0y?2x0b， 222222整理得(2x0?y0)y?2my0y?m?2bx0?0，
2024年最新
2024年最新
2m2?2b2x0于是y1y2?． ⑧ 222x0?y0222m2?2b2y0m2?2b2x0由OQ1?OQ2知x1x2?y1y2?0．将⑤式和⑧式代入得??0， 22222x0?y02x0?y0223m2?2b2(x0?y0)?0．
2222将m?x0?y0代入上式，得x0?y0?22b． 3所以，点D的轨迹方程为x?y?
2222b． 32024年最新
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(天津.理)含答案
