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2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．
参考公式：
·如果事件A，B互斥，那么
球的表面积公式
P(A?B)?P(A)?P(B)
S?4πR2
·如果事件A，B相互独立，那么
其中R表示球的半径
P(A·B)?P(A·)P(B)
一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
2i3?（ ） 1．i是虚数单位，1?iＡ．1?i
Ｂ． ?1?i
Ｃ．1?i
Ｄ．?1?i
?x?y≥?1，?2．设变量x，则目标函数z?4x?y的最大值为（ ） ，y满足约束条件?x?y≥1?3x?y?3．?Ａ．4 3．“??
Ｂ．11
Ｃ．12
Ｄ．14
2π?π?”是“tan??2cos????”的（ ） 3?2?
Ｂ．必要而不充分条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
Ａ．充分而不必要条件 Ｃ．充分必要条件
x2y224．设双曲线2?2?1(a?0，b?0)的离心率为3，且它的一条准线与抛物线y?4xab2020年最新
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的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）
x2y2??1 Ａ．
1224x22y2??1 Ｃ．33
x2y2??1 Ｂ．
4896
x2y2??1 Ｄ．
365．函数y?log2(x?4?2)(x?0)的反函数是（ ） Ａ．y?4?2Ｃ．y?4?2xxx?1(x?2) (x?2)
Ｂ．y?4?2Ｄ．y?4?2xxx?1(x?1) (x?1)
x?2x?26．设a，b为两条直线，?，?为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） Ａ．若a，b与?所成的角相等，则a∥b Ｂ．若a∥?，b∥?，?∥?，则a∥b Ｃ．若a??，b??，a∥b，则?∥? Ｄ．若a??，b??，???，则a?b
7．在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)?f(2?x)，若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)（ ）
Ａ．在区间[?2，?1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数 Ｂ．在区间[?2，?1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数 Ｃ．在区间[?2，?1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数 Ｄ．在区间[?2，?1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数
8．设等差数列?an?的公差d不为0，a1?9d．若ak是a1与a2k的等比中项，则k?（ ） Ａ．2
Ｂ．4
Ｃ．6
a Ｄ．8
b?1??1?，c均为正数，且2?log1a，???log1b，???log2c．则（ ） 9．设a，b?2??2?22Ａ．a?b?c
Ｂ．c?b?a
22c
Ｃ．c?a?b
Ｄ．b?a?c
，?为实数．10．设两个向量a?(??2，??cos?)和b??m，?sin??，其中?，m若
??m2??2020年最新
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a?2b，中央电视台
Ａ．
?的取值范围是（ ） m
Ｃ．
Ｄ．
Ｂ．[4，8]
2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答案前将密封线内的项目填写清楚．
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．
51??2x11．若?x2?的二项展开式中的系数为，则a? （用数字作答）． ?2ax??12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，
则此球的表面积为 ．
2an?n213．设等差数列?an?的公差d是2，前n项的和为Sn，则lim? ．
n??Sn22，B两点，则直线AB的方程14．已知两圆x?y?10和(x?1)?(y?3)?20相交于A226是 ．
15．如图，在△ABC中，?BAC?120°，AB?2，AC?1，
AD
C·BC? ． BD是边BC上一点，DC?2BD，则AD16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?2cosx(sinx?cosx)?1，x?R． （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；
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（Ⅱ）求函数f(x)在区间?，?上的最小值和最大值．
84 18．（本小题满分12分）
已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设?为取出的4个球中红球的个数，求?的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?底面ABCD，AB?AD，AC?CD，?ABC?60°，
?π3π???PA?AB?BC，E是PC的中点．
（Ⅰ）证明CD?AE；
（Ⅱ）证明PD?平面ABE；
（Ⅲ）求二面角A?PD?C的大小．
20．（本小题满分12分）
P
E A D
B
C
2ax?a2?1(x?R)，其中a?R． 已知函数f(x)?x2?1（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； （Ⅱ）当a?0时，求函数f(x)的单调区间与极值． 21．（本小题满分14分）
n?1n?在数列?an?中，a1?2，an?1??an???(2??)2(n?N)，其中??0．
（Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）求数列?an?的前n项和Sn；
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（Ⅲ）证明存在k?N，使得 22．（本小题满分14分）
?an?1a≤k?1对任意n?N?均成立． anakx2y2设椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，
ab1AF2?F1F2，原点O到直线AF1的距离为OF1．
3（Ⅰ）证明a?2b；
（Ⅱ）设Q1，Q2为椭圆上的两个动点，OQ1?OQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．
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2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(天津.理)含答案
