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第二章 行列式 Determinants
§1 引言 §5 行列式的计算 §2 排列 §6 行列式按行(列)展开 §3 n 级行列式 §7 Cramer法则 §4 n 级行列式的性质 §8 Laplace定理 行列式乘法法则
§2.1 引言
1． 用消元法解二元线性方程组
?a11x1?a12x2?b1,(1)? ax?ax?b.(2)?2112222(1)?a22:a11a22x1?a12a22x2?b1a22,
?2??a12:a12a21x1?a12a22x2?b2a12,
两式相减消去x2，得
（a11a22?a12a21）x1?b1a22?a12b2;
类似地，消去x1，得
（a11a22?a12a21）x2?a11b2?b1a21,
当a11a22?a12a21?0时，原方程有唯一解 x1?b1a22?a12b2b2a11?a21b1, x2?,
a11a22?a12a21a11a22?a12a21由方程组的四个系数确定 若记a11a22?a12a21?a11a21a12a22?d,
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b1a22?a12b2?b1b2a11a21a12a22?d1, b1?d2,
a11b2?b1a21?b2则当d?0时该方程组的解为
x1?d1d,x2?2dd
2．在三元一次线性方程组求解时有类似结果 方程组
?a11x1?a12x2?a13x3?b1??a21x1?a22x2?a23x3?b2 ?ax?ax?ax?b3223333?311当d?a11a21a31a12a22a32a23?0时，有唯一解 a33a13x1?dd1d,x2?2,x3?3ddd
其中
d1d1?d2d3a11d2?a21a31a11d3?a21a31a12a22a32b1b2b3a12a22a23a13a23a33a13a23a33b1b2b3， ， 。
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3．自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的
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个数很多的线性方程组——如n元一次线性方程组
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2????????an1x1?an2x2???annxn?bn
它的解是否也有类似的结论呢？ 为此，本章依次解决如下问题： 1）怎样定义n级行列式 2）n级行列式的性质与计算？ 3）方程组(＊)在什么情况下有解？ 有解的情况下，如何表示此解？
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一、排列
二、逆序 逆序数 三、奇排列 偶排列 四、对换 一、排列
定义：由1，2，…，n 组成的一个有序数组称为一个n级排列
注：所有不同n级排列的总数是
n!?1?2??(n?1)n?Pn（n
阶乘）
如，所有的3级排列是
123，132，213，231，312，321
——共6=3！个.
二、逆序 逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
定义：在一个排列中，如果一对数的前后位置与标准次序相反，即前面的数大于后面的数，则称这对数为一个逆序；
一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数． 注：
① 排列123?n称为标准排列，其逆序数为０
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② 排列j1j2?jn的逆序数常记为?(j1j2?jn) ③ ?(j1j2?jn)?j1后面比j1小的数的个数
?j2后面比j2小的数的个数?? ?jn?1后面比jn?1小的数的个数
或?(j1j2?jn)?j2前面比j2大的数的个数
?j3前面比j3大的数的个数??
?jn前面比jn大的数的个数．
例1．排列 31542 中，逆序有 31，32，54，52，42
??(31542)?5
例2．求n级排列135?(2n?1)2n(2n?2)?42的逆序数 解：135?(2n?1)2n(2n?2)?42
?? ? ? ?
1 2 n-1 n-1 1
??1?2???(n?1)?(n?1)???2?1?n(n?1)
三 、奇排列、偶排列
定义 逆序数为奇数的排列称为奇排列； 逆序数为偶数的排列称为偶排列． 注：标准排列123?n为偶排列．
练习：求下列排列的逆序数并讨论其奇偶性
(1) n(n?1)?321
(2) (2n)1(2n?1)2(2n?2)3?(n?1)n
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中南大学数学院高等代数行列式word课件
