x?L??x8???0,?y?L????0, ?y2???x?y?a??解出x??a4a，y?． 4??4???a4aP0(,)为唯一稳定点，实际问题有最小值，因此稳定点就是最小值点．即当
4??4??切成的两段的长度比为4:?，且其中长是一段围成正方形，短的一段围成圆时，所围正方形和圆面积之和最小．
8．求原点到两平面a1x?b1y?c1z?d1?0，a2x?b2y?c2z?d2?0的交线的最短距离．
解 设二平面交线上的点为(x,y,z)，则原点到该点的距离为
d?x2?y2?z2．
d2在相d在约束条件a1x?b1y?c1z?d1?0，a2x?b2y?c2z?d2?0下的最小值点与2同约束条件下的最小值点相等．作Lagrange函数
x2?y2?z2L(x,y,z)???1(a1x?b1y?c1z?d1)??2(a2x?b2y?c2z?d2)，
2令
?Lx?x?a1?1?a2?2?0,?L?y?b??b??0,1122?y??Lz?z?c1?1?c2?2?0, ?ax?by?cz?d?0,111?1??a2x?b2y?c2z?d2?0．由前三个方程得出x,y,z代入后两个方程解出?1,?2，因此得x,y,z的唯一值．
设a1?b1?c1?A1，a2?b2?c2?A2，a1a2?b1b2?c1c2?B，则有
222222x?(a1d2?a2d1)B?a1d1A2?a2d2A1?x0， 2A1A2?By?(b1d2?b2d1)B?b1d1A2?b2d2A1?y0， 2A1A2?B(c1d2?c2d1)B?c1d1A2?c2d2A1?z0，
A1A2?B2z?由于稳定点唯一，实际问题又有最小值，故稳定点就是最小值点，最短距离为
222dmin?x0?y0?z0．
9．求抛物线y?x和直线x?y?1间的最短距离．
解 设抛物线上的点为(x1,y1)，直线上的点为(x2,y2)，则y1?x1，x2?y2?1，两点之间的距离为d?作Lagrange函数
22(x1?x2)2?(y1?y2)2．
L(x1,y1,x2,y2)?(x1?x2)2?(y1?y2)2??1(y1?x12)??2(x2?y2?1)，令
x1?x2?L??x122(x?x)?(y?y)1212??y1?y2?Ly1??(x1?x2)2?(y1?y2)2?x2?x1?L??x2(x1?x2)2?(y1?y2)2??y2?y1?Ly2??(x1?x2)2?(y1?y2)2?2?y1?x1,?x?y?1,2?2解出x1??2?1x1?0,??1?0,??2?0,??2?0,
1171，y1?，x2?，y2??为唯一稳定点． 24881124781817113(?)2?(?)2?为抛28484由于稳定点唯一，实际问题又有最小值，因此唯一的稳定点就是最小值点，即当抛物线上的点P1(,)与直线上的点P2(,?)之间的距离d?物线y?x和直线x?y?1间的最短距离．
10．求x?0，y?0，z?0时函数f(x,y,z)?lnx?2lny?3lnz在球面
2x2?y2?z2?6r2上的极大值．证明a,b,c为正实数时，
?a?b?c?abc?108??．
6??236解 作Lagrange函数L(x,y,z)?lnx?2lny?3lnz??(x?y?z?6r)，令
2222??Lx??L?y???Lz?2??x由前三个方程得?2??1?2?x?0,x2??2?y?0,y 3??2?z?0,z?y2?z2?6r2,?1232222y?2x??z?3x，由此得，，代入第三个方程，222xyz解得x?r，故y?2r，z?3r．下面判定稳定点是极值点．
2222若记F(x,y,z)?x?y?z?6r，则Fz(r,2r,3r)?23r?0，故方程
x2?y2?z2?6r2
在稳定点的附近可唯一确定可微函数z?z(x,y)．令g(x,y)?f(x,y,z(x,y))，由约束条
件得
y?zx?z??，由复合函数链式法则， ??，
z?xz?y?g13?z13x?g23?z23y????2， ????2，
?yyz?yyz?xxz?xxz?2g6x?z6xy?2g136x?z136x2???????????，， 342223224?x?y?yzz?xxzz?xxzz?2g236y?z236y2??2?2?3??2?2?4， 2?yyzz?yyzz故函数g在(r,2r)点有
a11a12a12a2282?3r22?23r??223r2?8?0，
r410?23r且a11??8?0，因此g(x,y)在(r,2r)处取极大值，这等价于f(x,y,z)在3r2(r,2r,3r)处取条件极大值f(r,2r,3r)?ln(63r6)．
分析约束集D?(x,y,z)x2?y2?z2?6r2,x?0,y?0,z?0，它是一有界集，
??且当x?0，或y?0，或z?0，或其中二者大于而趋于0时，函数f(x,y,z)均趋
???于??，因此，函数f(x,y,z)的唯一极大值点是函数的最大值点，即在D内有
f(x,y,z)?lnx?2lny?3lnz?ln(63r6)．
x2?y2?z2由于在D内有r?，代入上式即得
62?x2?y2?z223xyz?63??6?两边平方，就有
???， ????， ?63?x2?y2?z2246xyz?108??6?22令x?a，y?b，z?c，就有
2?a?b?c?abc?108??，
6??236其中a,b,c均为正实数．
11．设函数f(x,y,u,v)，F(x,y,u,v)，G(x,y,u,v)二阶可微，Jacobbi矩阵
?Fx??G?x的秩为2．令
FyGyFuGuFv?? Gv??L(x,y,u,v)?f(x,y,u,v)??1F(x,y,u,v)??2G(x,y,u,v)，
2若P0(x0,y0,u0,v0)是函数L的稳定点，证明：当dL(P0)?(?)0时，P0是在函数f在约
束条件
F(x,y,u,v)?0，G(x,y,u,v)?0
下的条件极小（大）值点．
证明
此文只供参考，写作请独立思考，不要人云亦云，本文并不针对某个人（单位），祝您工作愉快！一是主要精力要放在自身专业能力的提升上，二是业余时间坚持写作总结，这是一个长期的积累过程，剩下的，不用过于浮躁，交给时间就好了。
每个人都有自己的爱，不能强迫自己去做。每个人都有自己的意志，不能被强迫。每个人都有自己的命运，而不是自己的结。放松你的思想，满足于现状。不要控制你的情绪。去吧，依靠你的梦想。成功取决于奋斗。成长取决于经验。幸福取决于开放。幸福取决于满足。很容易被人看不起。如果你看起来有点肤浅，你可以放心。往下看，你会很高兴的。敞开心扉，敞开心扉。只有看透了，我们才能成熟。这很容易理解。
为了成功，你需要给生活足够的速度。这是胜利者的态度，也是胜利者的态度。为了实现这个伟大的目标，我们必须能够忍受别人的嘲笑和独自工作的孤独。有了信念和追求，人就能忍受一切艰难困苦，适应一切环境。美属于自信，平静属于准备，奇迹属于坚持。
真正的努力，是“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”的积累；是“贵有恒，何必三更眠五更起；最无益，只怕一日曝十日寒”的自律；是“千淘万漉虽辛苦，吹尽黄沙始到金”的执着。
数学分析简明教程答案18
