★ 形成性考核作业 ★
离散数学作业4
姓 名： 学 号： 得 分： 教师签名： 离散数学图论部分形成性考核书面作业
本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业．
要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择：
1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．
2. 在线提交word文档
3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．
一、填空题
1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是 15 ．
2．设给定图G(如右由图所示)，则图G的点割集是 {f,c} ．
3．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则 G的结点 度数之和 等于边数的两倍．
4．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且所有结点的度数全为偶数 ． 5．设G=
6．若图G=
7．设完全图Kn有n个结点(n?2)，m条边，当n 为奇数 时，Kn中存在欧拉回路．
8．结点数v与边数e满足 e= v－1 关系的无向连通图就是树． 9．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去 4 条边后使之变成树．
1
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10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i = 4 ．
二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）
1．如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路． 答：不正确，图G是无向图，当且仅当G是连通，且所有结点度数均为偶
数，这里不能确定图G是否是连通的。
2．如下图所示的图G存在一条欧拉回路．
答：错误。 因为图G为中包含度数为奇数的结点
3．如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图．
G
答：错，既不是欧拉图也不是汉密尔顿图，欧拉图要求所有结点度数均为偶
数，这里结点bd各有三个节点；汉密尔顿图要求每一对结点度数之和大于等于总结点数，这里不满足。
4．设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图．
答：错误。若G是连通平面图，那么若≥3,就有e≤3v－6， 而16>3×7
－6，所以不满足定理条件，叙述错误。
5．设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面．
答：正确。因为连通平面图满足欧拉公式。即：v-e+r=2。由此题条件知
6-11+7=2成立。
三、计算题
1．设G=
2
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(v3,v5)，(v4,v5) }，试
(1) 给出G的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵； (3) 求出每个结点的度数； (4) 画出其补图的图形． 答：（1）
（2）
（3） deg(v1) =1 deg(v2) =2、deg(v3) =4、deg(v4) =3、deg(v5) =2 （4）
2．图G=
（1）画出G的图形； （2）写出G的邻接矩阵； （3）求出G权最小的生成树及其权值．
解：（1）
3
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（2）
（3）
G权最小的生成树的权值：1+1+2+3=7
3．已知带权图G如右图所示．
(1) 求图G的最小生成树； (2)计算该生成树的权值．
答：（1）
（2）该生成树的权值为1+2+3+5+7=18
4．设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．
答：最优二叉树如下：
4
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解：从2, 3, 5, 7, 17, 31中选2，3为最低层结点，并从权数中删去再添上它们的和数，
即5，5，7，11，31;再从5，5，7，11，31选5，5为倒数第二层结点，并从上述数列中删去，再添上它们的和数，即17，17，31;…..
最优二叉树的权为：2×5+3×5+4×5+7×3+17×2+31×1 =10+15+20+21+34+31=131
四、证明题
1．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的奇数．证明图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等．
证明：设a为G 中任意一个奇数度顶点，由G定义，a 仍为G顶点，为区分起见，记为a’, 则deg(a)+deg(a’)=n-1, 而n为奇数，则a’必为奇数度顶点。由a的任意性，容易得知结论成立。
k2．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加2条边才能使其成为欧拉图．
证明：由定理推论知：在任何图中，度数为奇数的结点必是偶数个，则k 是 偶数。又由欧拉图的充要条件是图G中不含奇数度结点。因此，只要在每对奇数度结点间各加一条边，使图G的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图。故 最
k少要加2 条边才能使其成为欧拉图
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2019电大离散数学形考4作业4答案
